Silsilələr və periodik ardıcıllıqlar — Onlayn dərslik

1Nəzəriyyə

Qeyd. Bu dərsdə nələr öyrənəcəyik?D10-da funksiyanın təyin oblastının istənilən çoxluq ola biləcəyini görmüşdük. Ardıcıllıq da elə funksiyadır — sadəcə arqumenti natural ədəddir:

1, 2, 3, \dots

nömrələrinin hər birinə bir ədəd qarşı qoyulur. Deməli ardıcıllıqlar mövzusu funksiyalar mövzusunun davamıdır, yeni bir aləm deyil.Bu dərsdə üç sadə, amma olimpiadada hər addımda rast gəlinən ailəni öyrənirik:

• addımı sabit olan ardıcıllıq — ədədi silsilə;
• nisbəti sabit olan ardıcıllıq — həndəsi silsilə;
• özünü təkrarlayan ardıcıllıq — periodik ardıcıllıq.

Dərin sular — rekurent ardıcıllıqların ümumi nəzəriyyəsi — növbəti iki dərsdədir (G19–G20). Bu dərs onların limanıdır: burada rekurent yazılışla tanış olur, sadə hallarda onu "aça" bilməyi öyrənirik.

Ardıcıllıq anlayışı və verilmə üsulları

Tərif 1.1 (Ədədi ardıcıllıq). Natural ədədlər çoxluğunda təyin olunmuş həqiqi qiymətli funksiyaya ədədi ardıcıllıq deyilir.

f(n)

yerinə

a_n

yazılır və ardıcıllığın özü

(a_n)

və ya

a_1, a_2, a_3, \dots

şəklində göstərilir.

a_n

ardıcıllığın ümumi həddi (və ya

n

-ci həddi) adlanır.

Ardıcıllıq üç yolla verilə bilər. 1) Ümumi hədd düsturu ilə.

a_n

birbaşa

n

-lə ifadə olunur:

a_n = n^2 - 5n + 6

. İstənilən həddi dərhal hesablamaq olar:

a_{100} = 10000 - 500 + 6 = 9506

. 2) Rekurent qayda ilə. Növbəti hədd əvvəlkilərlə ifadə olunur:

a_{n+1} = a_n + 3

. Bu qayda təkbaşına ardıcıllığı təyin etmir!

Qeyd.

a_{n+1} = a_n + 3

qaydası bir yox, sonsuz sayda ardıcıllığa uyğun gəlir:

a_1 = 1

götürsək

1, 4, 7, 10, \dots

;

a_1 = 100

götürsək

100, 103, 106, \dots

alınır. Rekurent qayda ancaq başlanğıc şərtlə birlikdə ardıcıllığı təyin edir. İkinci tərtib qaydada (

a_{n+1} = a_n + a_{n-1}

tipli) iki başlanğıc hədd lazımdır.

3) Sözlə və ya alqoritmlə. "

a_n

—

n

-ci sadə ədəddir":

2, 3, 5, 7, 11, \dots

Burada nə ümumi hədd düsturu, nə də rekurent qayda var, amma ardıcıllıq tam müəyyəndir.

Tərif 1.2 (Artan və azalan ardıcıllıq).

(a_n)

ardıcıllığı, əgər hər

n

üçün

a_{n+1} > a_n

olarsa, artan;

a_{n+1} < a_n

olarsa azalan adlanır. Bərabərliyə icazə verilirsə (

\ge

\le

) ardıcıllıq azalmayan, uyğun olaraq artmayan adlanır. Bu dörd halın hamısına birlikdə monoton ardıcıllıq deyilir.

Monotonluğun yoxlanması. Fərq üsulu.

a_{n+1} - a_n

fərqini hesablayıb sadələşdirin və işarəsinə baxın. Bu, ən universal yoldur.Nisbət üsulu. Bütün hədlər müsbətdirsə,

\dfrac{a_{n+1}}{a_n}

nisbətini

1

-lə müqayisə etmək daha rahatdır (xüsusən hədlər kəsr və ya qüvvət şəklində olanda). Diqqət: hədlərin müsbətliyi şərtdir — mənfi hədlərdə nisbətin

1

-dən böyük olması artımı bildirmir.

Nümunə 1.1 (fərq üsulu).

a_n = n^2 - 5n + 6

ardıcıllığı monotondurmu?Həll.

a_{n+1} - a_n = \bigl((n+1)^2 - 5(n+1) + 6\bigr) - (n^2 - 5n + 6) = 2n - 4

n = 1

üçün fərq

-2 < 0

n = 2

üçün

0

n \ge 3

üçün

2n - 4 > 0

. Deməli ardıcıllıq monoton deyil: əvvəl azalır, sonra artır. Doğrudan da hədlər:

2,\,0,\,0,\,2,\,6,\,12,\dots

Nümunə 1.2 (nisbət üsulu).

a_n = \dfrac{2^n}{n!}

ardıcıllığı hansı

n

-lərdən sonra azalır?Həll. Bütün hədlər müsbətdir, ona görə nisbətə baxaq:

\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\dfrac{n!}{2^n} = \dfrac{2}{n+1}

. Bu nisbət

n = 1

-də

1

-dən böyük (

=1

üçün

n=1

2/2 = 1

, yəni

a_1 = a_2

n \ge 2

üçün isə

\dfrac{2}{n+1} < 1

. Deməli

a_1 = a_2 = 2

, sonra ardıcıllıq ciddi azalır.

Tərif 1.3 (Məhdud ardıcıllıq).

(a_n)

ardıcıllığı, əgər elə

M

ədədi varsa ki, hər

n

üçün

a_n \le M

olsun, yuxarıdan məhdud; elə

m

varsa ki,

a_n \ge m

olsun, aşağıdan məhdud adlanır. Hər iki şərt ödənirsə ardıcıllıq sadəcə məhdud adlanır.

Nümunə 1.3 (məhdudluğun açıq qiymətləndirmə ilə yoxlanması).

a_n = \dfrac{n}{n+1}

ardıcıllığının məhdud olduğunu göstərək.Həll. Kəsri "tam hissəsini ayıraraq" yazaq:

a_n = \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1) - 1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}.

\dfrac{1}{n+1} > 0

olduğundan

a_n < 1

— yuxarıdan məhduddur. Digər tərəfdən

n \ge 1

üçün

\dfrac{1}{n+1} \le \dfrac12

, deməli

a_n \ge \dfrac12

— aşağıdan da məhduddur. Beləliklə

\dfrac12 \le a_n < 1

.Eyni yazılış monotonluğu da dərhal verir:

n

artdıqca

\dfrac{1}{n+1}

azalır, deməli

a_n

artır.

Qeyd. Monotonluq və məhdudluq bu dərsdə yalnız tanışlıq səviyyəsindədir: tərifi bilmək və sadə hallarda yoxlamağı bacarmaq kifayətdir. Bu anlayışların əsl gücü ardıcıllığın limiti ilə birlikdə açılır — o isə proqramın bu hissəsinə daxil deyil.

Ədədi silsilə

Tərif 1.4 (Ədədi silsilə). Hər həddi özündən əvvəlkinin üzərinə sabit bir ədəd gəlməklə alınan ardıcıllığa ədədi silsilə deyilir:

a_{n+1} = a_n + d, \qquad n = 1, 2, 3, \dots

Buradakı

d

sabitinə silsilənin fərqi deyilir; aydındır ki,

d = a_{n+1} - a_n

Diqqət edin: tərif elə rekurent qayda şəklində verildi. Bu, təsadüfi deyil — ədədi silsilə ən sadə rekurent ardıcıllıqdır və G19-a keçidin təbii körpüsüdür.D7-də xətti funksiya üçün

f(x+1) - f(x) = k

sabitliyini görmüşdük. Ədədi silsilə məhz bunun natural nöqtələrdəki şəklidir: ədədi silsilə — xətti funksiyanın natural arqumentlərdə aldığı qiymətlərdir.

Teorem 1.5 (Ümumi hədd). Fərqi

d

olan ədədi silsilənin

n

-ci həddi

a_n = a_1 + (n-1)d .

İsbat. Addımları ardıcıl yazaq:

a_2 = a_1 + d,\quad a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d,\quad a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d,\ \dots

Hər addımda

a_1

-in üzərinə bir

d

əlavə olunur.

a_1

-dən

a_n

-ə gedənə qədər neçə addım atılır?

1 \to 2

2 \to 3

, …,

(n-1) \to n

— yəni $n-1$ addım. Deməli

a_n = a_1 + (n-1)d

Qeyd.

a_n = a_1 + nd

yazmaq — bu mövzuda ən çox yayılmış səhvdir. Kiçik halla yoxlayın:

n = 1

üçün düstur

a_1

verməlidir.

a_1 + (1-1)d = a_1

[+],

a_1 + 1\cdot d = a_1 + d

[–].

Nəticə 1.6 (İki həddin əlaqəsi). İstənilən

m, n

üçün

a_m = a_n + (m-n)d

İsbat.

a_m = a_1 + (m-1)d

və

a_n = a_1 + (n-1)d

bərabərliklərini tərəf-tərəfə çıxaq:

a_m - a_n = \bigl((m-1) - (n-1)\bigr)d = (m-n)d

Bu nəticə praktikada düsturdan daha çox işlədilir: məsələn

a_3

və

a_8

məlumdursa,

a_8 = a_3 + 5d

yazıb dərhal

d

-ni tapmaq olar —

a_1

-ə qayıtmağa ehtiyac qalmır.

Teorem 1.7 (Xarakteristik xassə).

(a_n)

ardıcıllığı ədədi silsilədir o zaman və yalnız o zaman ki, ikinci həddindən başlayaraq hər həddi öz qonşularının ədədi ortasına bərabərdir:

a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}, \qquad n \ge 2 .

İsbat. ( $\Rightarrow$ )

(a_n)

ədədi silsilədirsə,

a_{n-1} = a_n - d

və

a_{n+1} = a_n + d

. Onda

\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} = \frac{(a_n - d) + (a_n + d)}{2} = \frac{2a_n}{2} = a_n .

( $\Leftarrow$ ) İndi tutaq ki, hər

n \ge 2

üçün

2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}

. Bu bərabərliyi

a_{n+1} - a_n = a_n - a_{n-1}

şəklində yazaq. Deməli ardıcıl fərqlərin hamısı bir-birinə bərabərdir:

a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3 = \cdots

Bu ümumi qiyməti

d

ilə işarə etsək,

a_{n+1} = a_n + d

alınır — yəni ardıcıllıq ədədi silsilədir.

Nəticə 1.8 (Üç ədədin silsilə şərti).

a

b

c

ədədləri (bu sıra ilə) ədədi silsilə təşkil edir

\iff

2b = a + c

Bu kiçik bərabərlik D9 və F17-də kökləri silsilə təşkil edən tənliklərin təməlidir: orada "məktəbdən məlum" kimi istifadə etmişdik, indi isbatı ilə əlimizdədir. Üç ədəd ədədi silsilə təşkil edirsə, onları

b - d,\ b,\ b + d

şəklində işarələmək həmişə sərfəlidir: cəmləri dərhal

3b

olur.

Teorem 1.9 (Simmetrik hədlərin cəmi). Sonlu

a_1, a_2, \dots, a_n

ədədi silsiləsində kənarlardan bərabər uzaqlıqdakı hədlərin cəmi sabitdir:

a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = a_3 + a_{n-2} = \cdots

Ümumi şəkildə:

a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n

(hər

k = 1, \dots, n

üçün).

İsbat. Hər iki həddi ümumi hədd düsturu ilə açaq:

a_k + a_{n-k+1} = \bigl(a_1 + (k-1)d\bigr) + \bigl(a_1 + (n-k)d\bigr) = 2a_1 + (n-1)d .

Sağ tərəfdə

k

yoxdur — deməli cəm

k

-dan asılı deyil.

k = 1

götürsək onun

a_1 + a_n

-ə bərabər olduğunu görürük.

Bu, növbəti bölmədəki cəm düsturunun açarıdır: cəmi tərs sıra ilə yazıb topladıqda məhz bu sabit cəmlər üzə çıxır.Ədədi silsilənin cəmiRəvayətə görə müəllim balaca Qaussa

1

-dən

100

-ə qədər ədədləri toplamağı tapşırıb ki, bir müddət başı qarışsın. Qauss cavabı bir neçə saniyəyə deyib:

5050

. Onun gedişi bu idi:\[

\begin{array}{rccccccc} S &=& 1 &+& 2 &+& \cdots &+\ 100\\[1mm] S &=& 100 &+& 99 &+& \cdots &+\ 1\\[1mm] \hline 2S &=& 101 &+& 101 &+& \cdots &+\ 101 \end{array}

\]Sağda

100

dənə

101

var, deməli

2S = 100 \cdot 101 = 10100

, buradan

S = 5050

.Bu gediş heç bir konkret ədədə bağlı deyil: yalnız simmetrik hədlərin cəminin sabitliyinə söykənir. Ona görə istənilən ədədi silsilədə işləyir.

Teorem 1.10 (Ədədi silsilənin ilk

n

həddinin cəmi).

S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n

olsun. Onda

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \qquad\text{və}\qquad S_n = \frac{n\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr)}{2}.

İsbat. Cəmi düz və tərs sıra ilə yazıb tərəf-tərəfə toplayaq:

\begin{array}{rcccccc} S_n &=& a_1 &+& a_2 &+ \cdots +& a_n\\[1mm] S_n &=& a_n &+& a_{n-1} &+ \cdots +& a_1\\[1mm] \hline 2S_n &=& (a_1 + a_n) &+& (a_2 + a_{n-1}) &+ \cdots +& (a_n + a_1) \end{array}

Simmetrik hədlərin cəmi haqqında teoremə görə sağ tərəfdəki mötərizələrin hamısı

a_1 + a_n

-ə bərabərdir və onların sayı

n

-dir. Deməli

2S_n = n(a_1 + a_n)

, yəni

S_n = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2}

.İkinci forma birincidən çıxır:

a_n = a_1 + (n-1)d

yazsaq,

S_n = \frac{n\bigl(a_1 + a_1 + (n-1)d\bigr)}{2} = \frac{n\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr)}{2}

Hansı forma nə vaxt?.

\bullet

Birinci və sonuncu hədd məlumdursa —

S_n = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2}

işlədin. (Məsələn "

7

-yə bölünən üçrəqəmli ədədlərin cəmi" tipli məsələlərdə kənar hədləri tapmaq asandır.)

\bullet

$a_1$ və $d$ məlumdursa, sonuncu hədd isə soruşulmursa —

S_n = \dfrac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}

işlədin:

a_n

-i ayrıca hesablamağa ehtiyac qalmır.

\bullet

Naməlumlu tənlik qurulursa — ikinci forma demək olar həmişə rahatdır, çünki onda yalnız

a_1

və

d

iştirak edir.

Qeyd.

a_m

-dən

a_n

-ə qədər (hər ikisi daxil olmaqla) $n - m + 1$ hədd var,

n - m

yox! Kiçik halla yoxlayın:

a_5

-dən

a_7

-yə qədər hədlər

a_5, a_6, a_7

— üç dənə, düstur da

7 - 5 + 1 = 3

verir [+]. Deməli

a_5

-dən

a_{20}

-yə qədər

20 - 5 + 1 = 16

hədd var.Eyni qayda ədəd aralıqlarında da işləyir:

1

-dən

2026

-ya qədər

7

-yə bölünənlərin sayı

\left\lfloor \dfrac{2026}{7} \right\rfloor = 289

-dur (D11-dəki tam hissə funksiyası ilə sayma).

S_n

məlumdursa

a_n

necə tapılır?.

S_n = a_1 + \cdots + a_n

və

S_{n-1} = a_1 + \cdots + a_{n-1}

olduğundan

\boxed{\,a_n = S_n - S_{n-1}\,}\qquad (n \ge 2).

Vacib incəlik: bu bərabərlik yalnız

n \ge 2

üçün doğrudur, çünki

S_0

yazılışı təriflə verilməyib.

a_1

isə birbaşa

a_1 = S_1

kimi tapılır. Alınan düsturun

n = 1

-də də doğru olub-olmadığını ayrıca yoxlamaq lazımdır.

Nümunə 1.4 (

n=1

halı düzgün çıxır).

S_n = 3n^2 + 2n

olarsa,

a_n

-i tapın.Həll.

n \ge 2

üçün

a_n = S_n - S_{n-1} = (3n^2 + 2n) - \bigl(3(n-1)^2 + 2(n-1)\bigr) = 3(2n-1) + 2 = 6n - 1 .

İndi

n = 1

-i yoxlayaq:

a_1 = S_1 = 3 + 2 = 5

, düstur isə

6\cdot 1 - 1 = 5

verir — üst-üstə düşür. Deməli hər

n \ge 1

üçün

a_n = 6n - 1

; bu,

a_1 = 5

d = 6

olan ədədi silsilədir.

Nümunə 1.5 (

n=1

halı pozulur).

S_n = n^2 + 3n + 1

olarsa,

a_n

-i tapın.Həll.

n \ge 2

üçün

a_n = (n^2+3n+1) - \bigl((n-1)^2 + 3(n-1) + 1\bigr) = 2n + 2 .

Yoxlayaq:

a_1 = S_1 = 1 + 3 + 1 = 5

, düstur isə

2 + 2 = 4

verir — uyğun gəlmir. Deməli

a_1 = 5, \qquad a_n = 2n+2 \ \ (n \ge 2),

və bu ardıcıllıq ədədi silsilə deyil (

a_2 - a_1 = 1

, amma

a_3 - a_2 = 2

Teorem 1.11 (

S_n

-in kvadratikliyi və tərsi).

(a_n)

ədədi silsilədirsə,

S_n

n

-ə görə sərbəst həddi sıfır olan kvadrat üçhədlidir. Tərsinə, əgər bir ardıcıllıq üçün

S_n = An^2 + Bn

(

A

B

— sabitlər) şəklindədirsə, ardıcıllıq ədədi silsilədir və

d = 2A

a_1 = A + B

İsbat. Düz istiqamət. İkinci cəm formasını açaq:

S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2} = \frac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \frac{d}{2}\right)n .

Sərbəst hədd yoxdur — və olmamalıdır da, çünki

n = 0

qoysaq "sıfır hədd toplanır", cəm isə

0

olmalıdır.Tərs istiqamət.

S_n = An^2 + Bn

olsun.

n \ge 2

üçün

a_n = S_n - S_{n-1} = A\bigl(n^2 - (n-1)^2\bigr) + B = 2An - A + B .

n = 1

-i yoxlayaq:

S_1 = A + B

, düstur da

2A - A + B = A + B

verir [+]. Deməli hər

n

üçün

a_n = 2An + (B - A)

, bu isə

d = 2A

fərqli, birinci həddi

a_1 = A + B

olan ədədi silsilədir.

Qeyd. D8-lə körpü:

S_n = \dfrac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \dfrac{d}{2}\right)n

funksiyası parabolanın natural nöqtələrdəki qiymətidir. Buradan "

S_n

nə vaxt ən böyükdür?" tipli suallar birbaşa D8-dəki parabolanın təpə nöqtəsi hesabına çevrilir:

d < 0

olduqda parabolanın qolları aşağı yönəlir və maksimum

a_n

-in işarə dəyişdiyi yerdədir.

Həndəsi silsilə

Tərif 1.12 (Həndəsi silsilə). Hər həddi özündən əvvəlkinin sabit bir ədədə vurulması ilə alınan və bütün hədləri sıfırdan fərqli olan ardıcıllığa həndəsi silsilə deyilir:

b_{n+1} = q \cdot b_n, \qquad b_1 \ne 0,\quad q \ne 0 .

q

sabitinə silsilənin məxrəci deyilir; aydındır ki,

q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n}

Qeyd. Tərifdəki

b_1 \ne 0

və

q \ne 0

şərtləri boş yerə deyil: əgər bir hədd sıfır olsaydı, ondan sonrakı bütün hədlər sıfır olar və

q

məxrəci

\dfrac{0}{0}

kimi mənasız qalardı. Deməli həndəsi silsilədə heç bir hədd sıfır ola bilməz — bu, məsələ həllərində gizli şərt kimi tez-tez işə düşür.

Teorem 1.13 (Ümumi hədd). Məxrəci

q

olan həndəsi silsilənin

n

-ci həddi

b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}.

İsbat. Addımları ardıcıl yazaq:

b_2 = b_1 q,\quad b_3 = b_2 q = b_1 q^2,\quad b_4 = b_3 q = b_1 q^3,\ \dots

Hər addımda bir

q

vuruğu artır;

b_1

-dən

b_n

-ə

n-1

addım atıldığından

q

-nun qüvvəti

n-1

olur:

b_n = b_1 q^{\,n-1}

.Eyni sayma ilə

b_m = b_n \cdot q^{\,m-n}

də alınır (iki həddin əlaqəsi).

Teorem 1.14 (Xarakteristik xassə). Sıfırdan fərqli hədləri olan

(b_n)

ardıcıllığı həndəsi silsilədir

\iff

ikinci həddindən başlayaraq hər həddin kvadratı qonşularının hasilinə bərabərdir:

b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}, \qquad n \ge 2 .

İsbat. ( $\Rightarrow$ )

b_{n-1} = \dfrac{b_n}{q}

b_{n+1} = b_n q

olduğundan

b_{n-1}b_{n+1} = \dfrac{b_n}{q}\cdot b_n q = b_n^2

.( $\Leftarrow$ )

b_n^2 = b_{n-1}b_{n+1}

olsun. Bütün hədlər sıfırdan fərqli olduğu üçün bərabərliyi

b_{n-1}b_n

-ə bölə bilərik:

\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{b_{n+1}}{b_n}.

Deməli ardıcıl nisbətlərin hamısı bərabərdir; bu ümumi qiyməti

q

adlandırsaq

b_{n+1} = qb_n

alınır.

Nəticə 1.15 (Üç ədədin həndəsi silsilə şərti). Sıfırdan fərqli

a

b

c

ədədləri (bu sıra ilə) həndəsi silsilə təşkil edir

\iff

b^2 = ac

Qeyd.

b^2 = ac

şərtindən $b = \sqrt{ac}$ nəticəsi çıxmır! Düzgün nəticə

b = \pm\sqrt{ac}

-dir.Məsələn

4,\ x,\ 25

üçün

x^2 = 100

, yəni

x = 10

və ya

x = -10

— hər ikisi həndəsi silsilə verir:

4, 10, 25

(

q = 5/2

) və

4, -10, 25

(

q = -5/2

)."Həndəsi orta" adı və

b = \sqrt{ac}

yazılışı yalnız müsbət hədlər halına aiddir: müsbət

a

və

c

üçün

\sqrt{ac}

onların həndəsi ortasıdır (ƏN/proqramdan tanış anlayış). Elə silsilənin adı da buradan gəlir: ədədi silsilədə hər hədd qonşularının ədədi ortası, həndəsi silsilədə isə (müsbət hallarda) həndəsi ortasıdır.

Üç ədəd həndəsi silsilə təşkil edirsə, onları

\dfrac{b}{q},\ b,\ bq

şəklində işarələmək sərfəlidir: hasilləri dərhal

b^3

olur. (Ədədi silsilədə

b-d,\ b,\ b+d

işarələməsi cəmi sadələşdirirdi — burada isə hasili.) D7 ilə körpü.

b_n = b_1 q^{\,n-1} = \dfrac{b_1}{q}\cdot q^{\,n}

olduğundan həndəsi silsilə

f(x) = C q^{\,x}

üstlü funksiyasının natural nöqtələrdəki qiymətidir. D7-də xətti və üstlü funksiyanın artımını müqayisə etmişdik; eyni müqayisə silsilələr dilində belə görünür:

İlk iki hədd eynidir (

2

və

4

), altıncı həddə isə fərq artıq

12

-yə qarşı

64

-dür. Ədədi silsilə bərabər addımlarla qalxır (düz xətt), həndəsi silsilə isə bərabər dəfələrlə — və bu, kifayət qədər böyük

n

-lər üçün istənilən xətti artımı üstələyir.Həndəsi silsilənin cəmi

Teorem 1.16 (Həndəsi silsilənin ilk

n

həddinin cəmi).

q \ne 1

olduqda

S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n = \frac{b_1\bigl(q^{\,n} - 1\bigr)}{q - 1} = \frac{b_1\bigl(1 - q^{\,n}\bigr)}{1 - q}.

q = 1

olduqda isə bütün hədlər bərabərdir və

S_n = n b_1

İsbat. Bu dəfə "tərs sıra" gedişi işləmir: hədlər toplanma ilə yox, vurma ilə düzülüb. Onda sürüşdür-çıx üsulunu işlədək. Cəmi yazaq:

S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \cdots + b_1 q^{\,n-1}.

Hər iki tərəfi

q

-ya vuraq — bu, bütün hədləri bir addım "sürüşdürür":

qS_n = b_1 q + b_1 q^2 + \cdots + b_1 q^{\,n-1} + b_1 q^{\,n}.

İki sətri tərəf-tərəfə çıxaq. Sağ tərəfdə ortadakı bütün hədlər qırılır, yalnız kənarlar qalır:

qS_n - S_n = b_1 q^{\,n} - b_1 \quad\Longrightarrow\quad S_n(q-1) = b_1\bigl(q^{\,n}-1\bigr).

Əgər

q \ne 1

olarsa,

q - 1 \ne 0

və hər iki tərəfi ona bölmək olar:

S_n = \dfrac{b_1(q^{\,n}-1)}{q-1}

Qeyd.

q - 1

-ə bölmədən əvvəl

q = 1

halını ayrıca kənara qoymaq məcburidir (E13-dəki "tənliyi naməlum ifadəyə bölmə" intizamının eyni).

q = 1

olduqda silsilə

b_1, b_1, b_1, \dots

şəklindədir və

S_n = n b_1

; düsturu bu halda tətbiq etmək

\dfrac{0}{0}

verir. Şərtdə

q

-nun qiyməti naməlumdursa, hər iki halı yoxlayın.

Qeyd. "Sürüşdür-çıx" gedişini yaxşı mənimsəyin: G22-də sonsuz azalan həndəsi silsilənin cəmi məhz bu düsturdan,

|q| < 1

olduqda

q^{\,n}

həddinin sıfıra yaxınlaşması ilə alınacaq.

Nümunə 1.6 (

2

-nin qüvvətlərinin cəmi).

1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{\,n} = ?

Həll. Bu,

b_1 = 1

q = 2

olan həndəsi silsilədir. Hədlərin sayı:

2^0

-dan

2^{\,n}

-ə qədər

n - 0 + 1 = n+1

dənə. Deməli

S = \frac{1\cdot\bigl(2^{\,n+1} - 1\bigr)}{2 - 1} = 2^{\,n+1} - 1 .

Kiçik halla yoxlama:

n = 3

üçün

1+2+4+8 = 15

, düstur da

2^4 - 1 = 15

verir.

Qeyd.

1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{\,n} = 2^{\,n+1} - 1

bərabərliyi ƏN-dən tanış olan iki fakta birbaşa bağlıdır: ikilik sistemdə

n+1

dənə "1" rəqəmindən ibarət ədəd

2^{\,n+1}-1

-ə bərabərdir; həmçinin

2^{\,k}

ədədinin bütün xüsusi bölənlərinin cəmi

2^{\,k}-1

-dir — mükəmməl ədədlər nəzəriyyəsinin çıxış nöqtəsi məhz budur.

Nümunə 1.7 (Mürəkkəb faiz = həndəsi silsilə). Bankda illik

10\%

mürəkkəb faizlə

1000

manat qoyulub.

3

ildən sonra məbləğ nə qədər olar? Sadə faizlə müqayisə edin.Həll. Mürəkkəb faizdə hər il məbləğ

1{,}1

dəfə artır — yəni məbləğlər ardıcıllığı məxrəci

q = 1{,}1

olan həndəsi silsilədir:

A_n = A_0 (1 + r)^n, \qquad A_3 = 1000 \cdot 1{,}1^3 = 1331 \text{ manat.}

Sadə faizdə isə hər il eyni

100

manat gəlir əlavə olunur — bu,

d = 100

fərqli ədədi silsilədir:

A_3 = 1000 + 3\cdot 100 = 1300

manat.Fərq

31

manatdır və illər artdıqca sürətlə böyüyür — yuxarıdakı şəkildəki mənzərənin eynisi.

Ədədi və həndəsi silsilənin birgə məsələləriOlimpiada məsələlərinin bir hissəsi eyni ədədlər üzərində hər iki şərti tələb edir. Belə məsələlərdə iki alət kifayətdir:

2b = a+c

və

b^2 = ac

. Onları sistem kimi yazıb E13-dəki adi sistem intizamı ilə həll edirik.

Teorem 1.17. Əgər

a

b

c

ədədləri həm ədədi, həm də həndəsi silsilə təşkil edirsə, onda

a = b = c

İsbat. Şərtlər:

2b = a + c

və

b^2 = ac

. Birincidən

b = \dfrac{a+c}{2}

; bunu ikincidə yerinə yazaq:

\left(\frac{a+c}{2}\right)^{\!2} = ac \ \Longrightarrow\ (a+c)^2 = 4ac \ \Longrightarrow\ a^2 + 2ac + c^2 - 4ac = 0 \ \Longrightarrow\ (a-c)^2 = 0 .

Deməli

a = c

, onda

b = \dfrac{a+c}{2} = a

. Yəni

a = b = c

Qeyd. Bu nəticə praktik bir xəbərdarlıqdır: "üç ədəd həm ədədi, həm həndəsi silsilədir" şərti məsələni bitirir — cavab sabit ardıcıllıqdır. Ona görə maraqlı məsələlərdə şərtlər həmişə sürüşdürülür: "

a, b, c

ədədi silsilədir,

a, b, c+k

isə həndəsi".

Nümunə 1.8 (Sürüşdürülmüş birgə şərt).

a

b

c

ədədləri cəmi

12

olan ədədi silsilə təşkil edir. Onlara uyğun olaraq

1

2

6

əlavə etdikdə həndəsi silsilə alınır. Bu ədədləri tapın.Həll. Ədədi silsilə olduğundan işarələməni simmetrik seçək:

a = b - d

c = b + d

. Cəm:

3b = 12

, yəni

b = 4

, deməli

a = 4-d

c = 4+d

.Yeni üçlük:

5-d,\ 6,\ 10+d

. Həndəsi silsilə şərti:

6^2 = (5-d)(10+d) \ \Longrightarrow\ 36 = 50 - 5d - d^2 \ \Longrightarrow\ d^2 + 5d - 14 = 0 \ \Longrightarrow\ d = 2 \ \text{və ya}\ d = -7 .

d = 2

: ədədlər

2, 4, 6

; yoxlama:

3, 6, 12

— həndəsi silsilədir (

q = 2

) [+]

d = -7

: ədədlər

11, 4, -3

; yoxlama:

12, 6, 3

— həndəsi silsilədir (

q = 1/2

) [+]Cavab:

2, 4, 6

və ya

11, 4, -3

Periodik ardıcıllıqlar — rekurentə körpü

Tərif 1.18 (Periodik ardıcıllıq).

(a_n)

ardıcıllığı, əgər elə natural

T

ədədi varsa ki, hər

n

üçün

a_{n+T} = a_n

olsun, periodik adlanır. Belə

T

ədədlərinin ən kiçiyinə ardıcıllığın ən kiçik periodu (qısaca — periodu) deyilir.

D10-da dövrü funksiyalar üçün

f(x+T) = f(x)

şərtini görmüşdük; periodik ardıcıllıq elə həmin şərtin natural arqumentlərdəki halıdır. Oradakı "böyük arqumenti dövrün köməyi ilə geri çəkmək" gedişi burada da eynilə işləyir — sadəcə "geri çəkmə" indi indeksin qalığı ilə aparılır.

Periodik ardıcıllıqla iş — dörd addım. 1. İlk hədləri ardıcıl hesablayın (adətən

6

–

12

hədd bəs edir).2. Təkrarı görün: hansı hədddən sonra əvvəlki mənzərə qayıdır?3. Periodu təsdiqləyin (aşağıdakı qeydə baxın) və

T

-ni yazın.4. Böyük indeksi geri çəkin:

n

-i

T

-yə bölüb qalığı tapın. Əgər

n = Tk + r

və

1 \le r \le T

olarsa,

a_n = a_r

(ƏN-dəki qalıq hesabı).

Qeyd. "İki hədd təkrarlandı" hələ "period tapıldı" demək deyil. Nəyin təkrarlanmasının kifayət etdiyi rekurent qaydanın tərtibindən asılıdır:

\bullet

Birinci tərtib qaydada (

a_{n+1} = f(a_n)

) növbəti hədd yalnız bir əvvəlkindən asılıdır. Ona görə bir həddin təkrarı kifayətdir:

a_{k} = a_{1}

olan kimi bütün sonrakı hədlər də təkrarlanır və period

k-1

-dir.

\bullet

İkinci tərtib qaydada (

a_{n+1} = f(a_n, a_{n-1})

) növbəti hədd iki əvvəlki hədddən asılıdır. Burada bir həddin təkrarı heç nə demir — ardıcıl iki həddin eyni cütü təkrarlanmalıdır:

(a_{k}, a_{k+1}) = (a_1, a_2)

. Yalnız bundan sonra period

k-1

olur.Məsələn

a_{n+1} = a_n - a_{n-1}

qaydasında

a_1 = 5

a_2 = 8

üçün hədlər

5, 8, 3, -5, -8, -3, 5, 8, \dots

olur. Burada

a_3 = 3

və

a_9 = 3

— bir həddin təkrarı

6

periodunu təsadüfən düzgün göstərir, amma bu, isbat deyil; isbat

(a_7, a_8) = (5, 8) = (a_1, a_2)

cütünün təkrarıdır.

Nümunə 1.9 (Rekurent qayda ilə verilmiş periodik ardıcıllıq).

a_1 = 2

və

a_{n+1} = \dfrac{1}{1 - a_n}

olarsa,

a_{2026}

-nı tapın.Həll. İlk hədləri hesablayaq:

a_1 = 2,\qquad a_2 = \frac{1}{1-2} = -1,\qquad a_3 = \frac{1}{1-(-1)} = \frac12,\qquad a_4 = \frac{1}{1-\frac12} = 2 .

a_4 = a_1

alındı. Qayda birinci tərtibdir (

a_{n+1}

yalnız

a_n

-dən asılıdır), deməli bir həddin təkrarı periodu təsdiqləyir:

T = 3

və ardıcıllıq

2,\ -1,\ \frac12,\ 2,\ -1,\ \frac12,\dots

şəklində gedir.Geri çəkmə:

2026 = 3 \cdot 675 + 1

, yəni

2026

-nın

3

-ə bölünməsindən qalıq

1

-dir. Deməli

a_{2026} = a_1 = 2

.Cavab:

a_{2026} = 2

Qeyd. Bu nümunə D11-dəki

f(x) = \dfrac{1}{1-x}

funksiyasının

f\bigl(f(f(x))\bigr) = x

xassəsinin eynisidir: orada funksiyanın iterasiya dövrü

3

idi, burada isə həmin funksiyanın yaratdığı ardıcıllığın periodu

3

-dür. Bir hadisə, iki dil.

Nümunə 1.10 (Son rəqəmlərin periodikliyi).

7^{2026}

ədədinin son rəqəmini tapın.Həll.

a_n

ilə

7^{\,n}

-in son rəqəmini işarə edək. Son rəqəm yalnız əvvəlki son rəqəmdən asılıdır (vurma zamanı yuxarı mərtəbələr son rəqəmə təsir etmir), deməli bu, birinci tərtib rekurent ardıcıllıqdır:

7,\quad 9,\quad 3,\quad 1,\quad 7,\quad 9,\ \dots

(

7\cdot7 = 49 \to 9

9\cdot 7 = 63 \to 3

3 \cdot 7 = 21 \to 1

1 \cdot 7 = 7

a_5 = a_1

olduğundan period

T = 4

.Geri çəkmə:

2026 = 4\cdot 506 + 2

, qalıq

2

-dir, deməli

a_{2026} = a_2 = 9

.Cavab: Son rəqəm

9

-dur.

Qeyd. Bu, ƏN-də

7^{2026} \pmod{10}

kimi yazdığımız hesabın ardıcıllıq dilində təkrarıdır. Ardıcıllıq dili bir üstünlük verir: periodik ardıcıllığın cəmini də asanlıqla hesablamaq olur (Bölmə 3-ə bax) — bir dövrün cəmini tam dövr sayına vurub, qalıq hissəni əlavə etmək kifayətdir. Bu, C5-dəki "onluq kəsrin dövründəki rəqəmlərin cəmi" gedişinin eynisidir.

Tipik səhvlər

Qeyd.

1. $a_n = a_1 + nd$ yazmaq. Doğrusu $a_1 + (n-1)d$ -dir. Düsturu yazan kimi $n=1$ ilə yoxlayın.
2. Həndəsi silsilədə $q = 1$ halını atmaq. Cəm düsturunu çıxararkən $q-1$ -ə bölürük; $q = 1$ ayrıca baxılmalıdır ( $S_n = nb_1$ ). Eyni şəkildə $q < 0$ hallarını da unutmayın.
3. $b^2 = ac$ -dən $b = \sqrt{ac}$ yazmaq. Doğrusu $b = \pm\sqrt{ac}$ . Bir cavabı itirmək bu mövzuda ən "bahalı" səhvdir.
4. $a_n = S_n - S_{n-1}$ fəndində $n=1$ -i yoxlamamaq. Bu bərabərlik yalnız $n \ge 2$ üçün doğrudur; $a_1 = S_1$ ayrıca hesablanmalı və düsturla tutuşdurulmalıdır.
5. Periodu bir həddin təkrarı ilə "təsdiqləmək". İkinci tərtib qaydada ardıcıl iki həddin cütü təkrarlanmalıdır.
6. Hədlərin sayını səhv saymaq. $a_m$ -dən $a_n$ -ə qədər $n-m+1$ hədd var. Cəm düsturunda $n$ məhz hədlərin sayıdır, sonuncu həddin indeksi deyil.
7. Silsilənin "hədd" ilə "indeks"ini qarışdırmaq. " $2026$ -cı hədd" ilə "qiyməti $2026$ olan hədd" tamam fərqli suallardır.

Yaddaş cədvəli: şərtdə nə görürsünüz

\rightarrow

hansı gediş

Şərtdə görürsünüz	Gediş
"Fərq sabitdir", "hər dəfə eyni qədər artır"	Ədədi silsilə: $a_n = a_1 + (n-1)d$ , $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
"Nisbət sabitdir", "hər dəfə eyni dəfə artır", faiz artımı	Həndəsi silsilə: $b_n = b_1q^{n-1}$ , $S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$
Üç ədəd verilib, "ədədi silsilə təşkil edir"	$2b = a+c$ ; işarələmə $b-d,\ b,\ b+d$ (cəm sadələşir)
Üç ədəd verilib, "həndəsi silsilə təşkil edir"	$b^2 = ac$ (işarəyə diqqət!); işarələmə $\frac{b}{q},\ b,\ bq$ (hasil sadələşir)
$S_n$ düsturla verilib, $a_n$ soruşulur	$a_n = S_n - S_{n-1}$ $(n\ge2)$ , sonra $n=1$ ayrıca yoxlanır
$S_n = An^2 + Bn$ görürsünüz	Ardıcıllıq ədədi silsilədir: $d = 2A$ , $a_1 = A+B$
" $1$ -dən $N$ -ə qədər $k$ -ya bölünənlərin cəmi"	Ədədi silsilə ( $d=k$ ); hədd sayı $\lfloor N/k \rfloor$
Böyük indeks: $a_{2026}$ , $7^{2026}$ -nın son rəqəmi	Periodiklik axtarın: hədləri yazın, $T$ -ni tapın, qalıqla geri çəkin
Rekurent qayda + "böyük indeksli həddi tapın"	Əvvəl $6$ – $12$ hədd yazın: adətən ya silsilədir, ya periodikdir
Periodik ardıcıllığın böyük cəmi	(bir dövrün cəmi) $\times$ (tam dövr sayı) $+$ (qalıq hissənin cəmi)

2Asan məsələlərRayon–şəhər turu səviyyəsi. Hər məsələnin ardınca tam, amma qısa həll verilir. Əvvəlcə özünüz həll etməyə çalışın.

Məsələ 1.

a_n = \dfrac{3n-1}{n+2}

ardıcıllığının ilk dörd həddini yazın. Ardıcıllığın artan olduğunu göstərin və məhdudluğunu araşdırın.

Həll. İlk hədlər:

a_1 = \dfrac{2}{3}

a_2 = \dfrac{5}{4}

a_3 = \dfrac{8}{5}

a_4 = \dfrac{11}{6}

.Tam hissəni ayıraq:

a_n = \dfrac{3(n+2) - 7}{n+2} = 3 - \dfrac{7}{n+2}

n

artdıqca

\dfrac{7}{n+2}

azalır, deməli

a_n

artır.

\dfrac{7}{n+2} > 0

olduğundan

a_n < 3

;

n \ge 1

üçün

\dfrac{7}{n+2} \le \dfrac73

, deməli

a_n \ge \dfrac23

. Cavab: Artandır və

\dfrac23 \le a_n < 3

, yəni məhduddur.

Məsələ 2.

a_1 = 2

a_{n+1} = a_n + 2n + 1

olarsa,

a_5

-i tapın və ümumi hədd düsturunu təxmin edib yoxlayın.

Həll.

a_2 = 2 + 3 = 5

a_3 = 5 + 5 = 10

a_4 = 10 + 7 = 17

a_5 = 17 + 9 = 26

.Hədlər

2, 5, 10, 17, 26

— hər biri tam kvadratdan bir böyükdür:

a_n = n^2 + 1

. Yoxlayaq:

a_1 = 1+1 = 2

[+] və

a_{n+1} - a_n = (n+1)^2 - n^2 = 2n+1

[+] Cavab:

a_5 = 26

a_n = n^2+1

Məsələ 3.

a_{n+1} = 2a_n - 3

rekurent qaydasını ödəyən iki müxtəlif ardıcıllıq göstərin. Sonra

a_1 = 4

halında

a_5

-i tapın.

Həll. Qayda başlanğıc şərtsiz ardıcıllığı təyin etmir.

a_1 = 3

götürsək

3, 3, 3, \dots

(sabit ardıcıllıq),

a_1 = 5

götürsək

5, 7, 11, 19, \dots

alınır — iki tamam fərqli ardıcıllıq.

a_1 = 4

üçün:

a_2 = 5

a_3 = 7

a_4 = 11

a_5 = 19

. Cavab:

a_5 = 19

Məsələ 4.

a_n = \dfrac{2^{\,n}}{n^2}

ardıcıllığı hansı

n

-dən başlayaraq artır?

Həll. Bütün hədlər müsbətdir, ona görə nisbət üsulu:

\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{\,n+1}}{(n+1)^2}\cdot\frac{n^2}{2^{\,n}} = \frac{2n^2}{(n+1)^2}.

Bu nisbət

1

-dən böyükdür

\iff 2n^2 > (n+1)^2 \iff n^2 - 2n - 1 > 0 \iff n > 1 + \sqrt2 \approx 2{,}41

, yəni

n \ge 3

.Yoxlama:

a_1 = 2

a_2 = 1

a_3 = \frac89

a_4 = 1

a_5 = \frac{32}{25}

— doğrudan da

a_3 < a_4 < a_5

. Cavab:

n \ge 3

üçün artır.

Məsələ 5. Ədədi silsilədə

a_1 = 4

d = 3

a_{20}

-ni tapın və

2026

ədədinin neçənci hədd olduğunu müəyyən edin.

Həll.

a_{20} = 4 + 19\cdot 3 = 61

. Ümumi hədd:

a_n = 4 + 3(n-1) = 3n + 1

3n + 1 = 2026 \Rightarrow 3n = 2025 \Rightarrow n = 675

. Cavab:

a_{20} = 61

;

2026

—

675

-ci həddir.

Məsələ 6. Ədədi silsilədə

a_3 = 7

a_8 = 22

a_{100}

-ü tapın.

Həll. İki həddin əlaqəsindən:

a_8 = a_3 + 5d

, yəni

22 = 7 + 5d

, buradan

d = 3

. Onda

a_1 = a_3 - 2d = 7 - 6 = 1

və

a_{100} = 1 + 99\cdot 3 = 298

. Cavab:

a_{100} = 298

Məsələ 7.

a_1 = 2

d = 5

olan ədədi silsilədə

a_5

-dən

a_{20}

-yə qədər (hər ikisi daxil olmaqla) neçə hədd var və onların cəmi nə qədərdir?

Həll. Hədlərin sayı

20 - 5 + 1 = 16

. (Kiçik halla yoxlama:

a_5

-dən

a_7

-yə qədər

a_5, a_6, a_7

— üç hədd, düstur da

7-5+1 = 3

verir.)

a_5 = 2 + 4\cdot5 = 22

a_{20} = 2 + 19\cdot 5 = 97

. Bu

16

hədd özü də ədədi silsilədir, deməli

S = \frac{16(22 + 97)}{2} = 8 \cdot 119 = 952 .

Cavab:

16

hədd, cəmi

952

Məsələ 8.

x

2x+3

5x-2

ədədləri (bu sıra ilə) ədədi silsilə təşkil edirsə,

x

-i və silsilənin fərqini tapın.

Həll. Xarakteristik xassə:

2(2x+3) = x + (5x-2)

, yəni

4x + 6 = 6x - 2

, buradan

x = 4

.Hədlər:

4,\ 11,\ 18

; fərq

d = 7

. Cavab:

x = 4

d = 7

Məsələ 9. Ədədi silsilənin ardıcıl üç həddinin cəmi

33

, hasili isə

1155

-dir. Bu hədləri tapın.

Həll. Simmetrik işarələmə: hədlər

b-d

b

b+d

. Cəm:

3b = 33 \Rightarrow b = 11

. Hasil:

(11-d)\cdot 11 \cdot (11+d) = 1155 \Rightarrow 121 - d^2 = 105 \Rightarrow d^2 = 16 .

d = \pm 4

, hər iki halda hədlər eyni çoxluqdur:

7, 11, 15

.Yoxlama:

7+11+15 = 33

[+],

7\cdot11\cdot15 = 1155

[+] Cavab:

7,\ 11,\ 15

Məsələ 10.

1, 4, 7, 10, \dots

silsiləsində

2026

ədədi varmı? Varsa, neçənci həddir?

Həll.

a_1 = 1

d = 3

, deməli

a_n = 3n - 2

3n - 2 = 2026 \Rightarrow 3n = 2028 \Rightarrow n = 676

— natural ədəddir. Cavab: Bəli,

676

-cı hədddir.

Məsələ 11. Ədədi silsilədə

a_7 = 25

a_{15} = 57

a_{2026}

-nı tapın.

Həll.

a_{15} = a_7 + 8d \Rightarrow 57 = 25 + 8d \Rightarrow d = 4

a_1 = a_7 - 6d = 25 - 24 = 1

a_{2026} = 1 + 2025\cdot 4 = 8101

. Cavab:

a_{2026} = 8101

Məsələ 12.

1 + 2 + 3 + \cdots + 2026

cəmini hesablayın.

Həll. Qauss gedişi:

2S = 2026 \cdot (1 + 2026) = 2026 \cdot 2027

, deməli

S = \frac{2026 \cdot 2027}{2} = 1013 \cdot 2027 = 2\,053\,351 .

Kiçik halla yoxlama: eyni düstur

n = 4

üçün

\frac{4\cdot5}{2} = 10 = 1+2+3+4

verir [+] Cavab:

2\,053\,351

Məsələ 13.

1 + 3 + 5 + \cdots + 2025

cəmini hesablayın.

Həll. Tək ədədlər silsiləsi:

a_n = 2n - 1

. Sonuncu hədd

2n - 1 = 2025 \Rightarrow n = 1013

. Onda

S = \frac{1013(1 + 2025)}{2} = \frac{1013 \cdot 2026}{2} = 1013^2 = 1\,026\,169 .

(İlk

n

tək ədədin cəmi həmişə

n^2

-dir — yadda saxlamağa dəyər.) Cavab:

1\,026\,169

Məsələ 14.

2 + 5 + 8 + \cdots + 2024

cəmini hesablayın.

Həll.

a_1 = 2

d = 3

a_n = 3n - 1

. Sonuncu hədd:

3n - 1 = 2024 \Rightarrow n = 675

S = \frac{675(2 + 2024)}{2} = 675 \cdot 1013 = 683\,775 .

Cavab:

683\,775

Məsələ 15.

a_1 = 4

d = 5

olan ədədi silsilənin ilk

20

həddinin cəmini tapın.

Həll. Sonuncu hədd soruşulmadığından ikinci forma sərfəlidir:

S_{20} = \frac{20\bigl(2\cdot4 + 19\cdot 5\bigr)}{2} = 10(8 + 95) = 1030 .

Kiçik halla yoxlama: eyni düstur

n = 3

üçün

\frac{3(8+10)}{2} = 27

verir; doğrudan da

4 + 9 + 14 = 27

[+] Cavab:

S_{20} = 1030

Məsələ 16. Bir ardıcıllığın ilk

n

həddinin cəmi

S_n = 3n^2 + 2n

-dir.

a_n

-i tapın və ardıcıllığın ədədi silsilə olduğunu göstərin.

Həll.

n \ge 2

üçün

a_n = S_n - S_{n-1} = (3n^2+2n) - \bigl(3(n-1)^2 + 2(n-1)\bigr) = 6n - 1 .

n = 1

halını ayrıca yoxlayaq:

a_1 = S_1 = 5

, düstur da

6-1 = 5

verir — uyğun gəlir. Deməli hər

n

üçün

a_n = 6n-1

;

a_{n+1} - a_n = 6

sabitdir. Cavab:

a_n = 6n - 1

;

a_1 = 5

d = 6

olan ədədi silsilə.

Məsələ 17. Bir ardıcıllığın ilk

n

həddinin cəmi

S_n = n^2 + 3n + 1

-dir.

a_n

-i tapın. Bu ardıcıllıq ədədi silsilədirmi?

Həll.

n \ge 2

üçün

a_n = (n^2+3n+1) - \bigl((n-1)^2+3(n-1)+1\bigr) = 2n+2

n = 1

a_1 = S_1 = 5

, düstur isə

4

verir — uyğun gəlmir. Deməli

a_1 = 5

a_n = 2n+2

(n\ge2)

a_2 - a_1 = 6 - 5 = 1

a_3 - a_2 = 8 - 6 = 2

— fərqlər bərabər deyil. Cavab:

a_1 = 5

a_n = 2n+2\ (n\ge2)

; ədədi silsilə deyil.

Məsələ 18. Ədədi silsilədə

a_1 = 1

və ilk

10

həddin cəmi

100

-dür. Fərqi tapın.

Həll.

S_{10} = \frac{10(2\cdot 1 + 9d)}{2} = 5(2 + 9d) = 100 \ \Rightarrow\ 2 + 9d = 20 \ \Rightarrow\ d = 2 .

Yoxlama: silsilə

1, 3, 5, \dots, 19

; ilk

10

tək ədədin cəmi

10^2 = 100

[+] Cavab:

d = 2

Məsələ 19. Həndəsi silsilədə

b_1 = 3

q = 2

b_8

-i tapın və

3072

ədədinin neçənci hədd olduğunu müəyyən edin.

Həll.

b_8 = 3 \cdot 2^7 = 3 \cdot 128 = 384

b_n = 3\cdot 2^{\,n-1} = 3072 \Rightarrow 2^{\,n-1} = 1024 = 2^{10} \Rightarrow n = 11

. Cavab:

b_8 = 384

;

3072

—

11

-ci həddir.

Məsələ 20. Həndəsi silsilədə

b_2 = 6

b_5 = 48

b_{10}

-u tapın.

Həll.

b_5 = b_2 \cdot q^3 \Rightarrow 48 = 6q^3 \Rightarrow q^3 = 8 \Rightarrow q = 2

(həqiqi ədədlər arasında

q^3 = 8

-in yeganə həlli).

b_1 = \dfrac{b_2}{q} = 3

, deməli

b_{10} = 3\cdot 2^9 = 1536

. Cavab:

b_{10} = 1536

Məsələ 21.

4

x

25

ədədləri həndəsi silsilə təşkil edirsə,

x

-i tapın.

Həll. Xarakteristik xassə:

x^2 = 4 \cdot 25 = 100

, deməli

x = 10

və ya

x = -10

. Hər iki cavab uyğundur:

4, 10, 25

(

q = \frac52

) və

4, -10, 25

(

q = -\frac52

). Cavab:

x = \pm 10

Məsələ 22. Həndəsi silsilədə

b_1 = 1

b_3 = 9

. Mümkün bütün silsilələri yazın və hər halda

b_5

-i tapın.

Həll.

b_3 = b_1 q^2 \Rightarrow q^2 = 9 \Rightarrow q = 3

və ya

q = -3

— iki müxtəlif silsilə:

1, 3, 9, 27, 81, \dots \qquad\text{və}\qquad 1, -3, 9, -27, 81, \dots

Hər iki halda

b_5 = b_1 q^4 = 81

(cüt qüvvət işarəni "udur"). Cavab: İki silsilə; hər ikisində

b_5 = 81

Məsələ 23. Həndəsi silsilədə

b_3 = -8

b_5 = -32

b_7

-ni tapın.

Həll.

b_5 = b_3 q^2 \Rightarrow -32 = -8q^2 \Rightarrow q^2 = 4 \Rightarrow q = \pm 2

. Hər iki halda

b_7 = b_5 \cdot q^2 = -32 \cdot 4 = -128

.(Diqqət:

q

-nun işarəsi iki cavab verir, amma

b_7

b_5

-dən

q^2

-yə görə asılı olduğundan nəticə tək çıxır. Əgər

b_6

soruşulsaydı, iki cavab alınardı:

\mp 64

.) Cavab:

b_7 = -128

Məsələ 24. Həndəsi silsilədə

b_1 = 16

b_4 = 2

. Hansı hədd

\dfrac18

-ə bərabərdir?

Həll.

b_4 = 16q^3 = 2 \Rightarrow q^3 = \frac18 \Rightarrow q = \frac12

b_n = 16\cdot\left(\frac12\right)^{n-1} = 2^{\,4-(n-1)} = 2^{\,5-n}

2^{\,5-n} = 2^{-3} \Rightarrow 5 - n = -3 \Rightarrow n = 8

. Cavab:

8

-ci hədd.

Məsələ 25.

1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 1024

cəmini hesablayın.

Həll.

1024 = 2^{10}

, deməli hədlər

2^0

-dan

2^{10}

-a qədərdir —

11

hədd.

b_1 = 1

q = 2

S = \frac{1\cdot(2^{11}-1)}{2-1} = 2^{11} - 1 = 2047 .

Kiçik halla yoxlama:

1+2+4+8 = 15 = 2^4 - 1

[+] Cavab:

2047

Məsələ 26.

3 + 6 + 12 + \cdots + 1536

cəmini hesablayın.

Həll.

b_1 = 3

q = 2

;

b_n = 3\cdot2^{\,n-1} = 1536 \Rightarrow 2^{\,n-1} = 512 = 2^9 \Rightarrow n = 10

S = \frac{3(2^{10}-1)}{2-1} = 3 \cdot 1023 = 3069 .

Cavab:

3069

Məsələ 27.

1 + \dfrac12 + \dfrac14 + \cdots + \dfrac{1}{1024}

cəmini hesablayın.

Həll.

b_1 = 1

q = \frac12

, hədlərin sayı

11

(qüvvələr

0

-dan

10

-a qədər):

S = \frac{1 - \left(\frac12\right)^{11}}{1 - \frac12} = 2\left(1 - \frac{1}{2048}\right) = 2 - \frac{1}{1024} = \frac{2047}{1024}.

Cavab:

\dfrac{2047}{1024} = 2 - \dfrac{1}{1024}

Məsələ 28.

1 - 2 + 4 - 8 + \cdots + 1024

cəmini hesablayın.

Həll. Bu,

q = -2

olan həndəsi silsilədir: hədlər

(-2)^0, (-2)^1, \dots, (-2)^{10}

—

11

hədd, sonuncusu

(-2)^{10} = 1024

S = \frac{1\cdot\bigl((-2)^{11} - 1\bigr)}{-2-1} = \frac{-2048 - 1}{-3} = \frac{-2049}{-3} = 683 .

Kiçik halla yoxlama:

1 - 2 + 4 = 3

; düstur:

\frac{(-2)^3-1}{-3} = \frac{-9}{-3} = 3

[+] Cavab:

683

Məsələ 29. Həndəsi silsilədə

b_1 = 7

və

b_2 = 7

-dir.

S_{2026}

-nı tapın.

Həll.

q = \dfrac{b_2}{b_1} = 1

. Bu halda cəm düsturu tətbiq olunmur (

q - 1 = 0

!), silsilə isə sadəcə sabitdir:

S_{2026} = 2026 \cdot 7 = 14\,182

. Cavab:

14\,182

Məsələ 30. Cəmi

15

olan üç ədəd ədədi silsilə təşkil edir. Onlara uyğun olaraq

1

1

4

əlavə etdikdə həndəsi silsilə alınır. Bu ədədləri tapın.

Həll. Ədədləri

b-d,\ b,\ b+d

kimi işarələyək. Cəm:

3b = 15 \Rightarrow b = 5

. Yeni üçlük:

6-d,\ 6,\ 9+d

. Həndəsi silsilə şərti:

36 = (6-d)(9+d) = 54 - 3d - d^2 \Rightarrow d^2 + 3d - 18 = 0 \Rightarrow d = 3 \ \text{və ya}\ d = -6 .

d = 3

: ədədlər

2, 5, 8

; yoxlama

3, 6, 12

— həndəsidir [+]

d = -6

: ədədlər

11, 5, -1

; yoxlama

12, 6, 3

— həndəsidir [+] Cavab:

2, 5, 8

və ya

11, 5, -1

Məsələ 31.

x

x+3

x+9

ədədləri həndəsi silsilə təşkil edirsə,

x

-i tapın.

Həll.

(x+3)^2 = x(x+9) \Rightarrow x^2 + 6x + 9 = x^2 + 9x \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3

. Hədlər:

3, 6, 12

(

q = 2

). Cavab:

x = 3

Məsələ 32. Həndəsi silsilə təşkil edən üç ədədin cəmi

21

, hasili

216

-dır. Bu ədədləri tapın.

Həll. Ədədləri

\dfrac{b}{q},\ b,\ bq

kimi işarələyək — onda hasil dərhal sadələşir:

\frac{b}{q}\cdot b \cdot bq = b^3 = 216 \Rightarrow b = 6 .

Cəmdən:

\dfrac6q + 6 + 6q = 21 \Rightarrow \dfrac6q + 6q = 15

. Hər iki tərəfi

q

-ya vuraq (

q \ne 0

6q^2 - 15q + 6 = 0

, yəni

2q^2 - 5q + 2 = 0 \Rightarrow q = 2

və ya

q = \frac12

.Hər iki halda ədədlər eynidir, yalnız sıra dəyişir:

3, 6, 12

və

12, 6, 3

. Cavab:

3,\ 6,\ 12

(və ya tərs sıra ilə).

Məsələ 33. Sıfırdan fərqli

a

b

c

ədədləri həm ədədi, həm də həndəsi silsilə təşkil edirsə, onların bərabər olduğunu isbat edin.

Həll. Şərtlər:

2b = a+c

və

b^2 = ac

. Birincidən

b = \dfrac{a+c}{2}

; ikincidə yerinə yazaq:

\frac{(a+c)^2}{4} = ac \Rightarrow (a+c)^2 = 4ac \Rightarrow (a-c)^2 = 0 \Rightarrow a = c .

Onda

b = \dfrac{a+a}{2} = a

, yəni

a = b = c

. Cavab: İsbat olundu.

Məsələ 34. Bir bakteriya koloniyasında başlanğıcda

200

bakteriya var və onların sayı hər saat

3

dəfə artır.

6

saatdan sonra neçə bakteriya olar?

Həll. Saatlar üzrə sayların ardıcıllığı

q = 3

məxrəcli həndəsi silsilədir:

c_0 = 200

c_n = 200\cdot 3^{\,n}

c_6 = 200 \cdot 729 = 145\,800

. Cavab:

145\,800

bakteriya.

Məsələ 35.

1000

manat

2

il müddətinə illik

20\%

-lə qoyulur. Sadə və mürəkkəb faiz hallarında yekun məbləğləri müqayisə edin.

Həll. Sadə faiz: hər il eyni

200

manat əlavə olunur — bu,

d = 200

fərqli ədədi silsilədir:

A_2 = 1000 + 2\cdot 200 = 1400

manat.Mürəkkəb faiz: hər il məbləğ

1{,}2

dəfə artır — bu,

q = 1{,}2

məxrəcli həndəsi silsilədir:

A_2 = 1000 \cdot 1{,}2^2 = 1440

manat.Fərq:

40

manat. (Səbəb aydındır: ikinci ildə faiz artıq

1200

manatın üzərinə hesablanır.) Cavab: Sadə faizlə

1400

, mürəkkəb faizlə

1440

manat.

Məsələ 36.

5000

manat illik

15\%

mürəkkəb faizlə

3

il saxlanılır. Yekun məbləği tapın.

Həll.

A_3 = 5000 \cdot 1{,}15^3

. Addım-addım:

1{,}15^2 = 1{,}3225

1{,}15^3 = 1{,}3225 \cdot 1{,}15 = 1{,}520875

. Deməli

A_3 = 5000 \cdot 1{,}520875 = 7604{,}375

manat. Cavab:

7604{,}375

manat.

Məsələ 37.

a_1 = 3

a_{n+1} = \dfrac{1}{1-a_n}

olarsa,

a_{2025}

-i tapın.

Həll. Hədləri hesablayaq:

a_1 = 3,\quad a_2 = \frac{1}{1-3} = -\frac12,\quad a_3 = \frac{1}{1+\frac12} = \frac23,\quad a_4 = \frac{1}{1-\frac23} = 3 = a_1 .

Qayda birinci tərtibdir, deməli bir həddin təkrarı periodu təsdiqləyir:

T = 3

.Geri çəkmə:

2025 = 3 \cdot 675

, qalıq

0

-dır — bu, dövrün sonuncu həddi deməkdir:

a_{2025} = a_3

. Cavab:

a_{2025} = \dfrac23

Məsələ 38.

a_1 = 2

a_{n+1} = \dfrac{1+a_n}{1-a_n}

olarsa,

a_{2026}

-nı tapın.

Həll.

a_1 = 2,\quad a_2 = \frac{3}{-1} = -3,\quad a_3 = \frac{1-3}{1+3} = -\frac12,\quad a_4 = \frac{1-\frac12}{1+\frac12} = \frac13,\quad a_5 = \frac{1+\frac13}{1-\frac13} = 2 = a_1 .

Period

T = 4

. Geri çəkmə:

2026 = 4\cdot 506 + 2

, qalıq

2

. Cavab:

a_{2026} = a_2 = -3

Məsələ 39.

3^{2026}

ədədinin son rəqəmini tapın.

Həll.

3

-ün qüvvətlərinin son rəqəmləri:

3, 9, 7, 1, 3, 9, \dots

— period

4

(

3\cdot3=9

9\cdot3=27\to7

7\cdot3=21\to1

1\cdot3=3

2026 = 4\cdot506 + 2

, qalıq

2

, deməli son rəqəm ikinci hədddir. Cavab:

9

Məsələ 40.

2026^{2026}

ədədinin son rəqəmini tapın.

Həll. Son rəqəm yalnız əsasın son rəqəmindən asılıdır, yəni

6^{2026}

-nın son rəqəmini tapmaq kifayətdir.

6

-nın qüvvətlərinin son rəqəmləri:

6, 6, 6, \dots

— period

1

. Cavab:

6

Məsələ 41.

a_1 = 1

a_2 = 2

və

a_{n+2} = a_{n+1} - a_n

olarsa,

a_{2026}

-nı və ilk

2026

həddin cəmini tapın.

Həll. Hədləri yazaq:

1,\ 2,\ 1,\ -1,\ -2,\ -1,\ \underbrace{1,\ 2}_{\text{təkrar}},\ \dots

Qayda ikinci tərtibdir, ona görə ardıcıl iki həddin təkrarını axtarırıq:

(a_7, a_8) = (1, 2) = (a_1, a_2)

[+] Deməli

T = 6

2026 = 6\cdot 337 + 4

, qalıq

4

a_{2026} = a_4 = -1

.Cəm üçün bir dövrün cəmini hesablayaq:

1+2+1-1-2-1 = 0

. Deməli

337

tam dövr heç nə vermir və

S_{2026} = 337\cdot 0 + (a_1+a_2+a_3+a_4) = 1+2+1-1 = 3 .

Cavab:

a_{2026} = -1

S_{2026} = 3

Məsələ 42.

a_n

—

n

ədədinin

5

-ə bölünməsindən alınan qalıqdır. İlk

2026

həddin cəmini tapın.

Həll. Hədlər:

1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0, \dots

— period

T = 5

, bir dövrün cəmi

1+2+3+4+0 = 10

2026 = 5\cdot 405 + 1

405

tam dövr və üstəlik bir hədd (

a_{2026} = 1

S_{2026} = 405 \cdot 10 + 1 = 4051 .

Kiçik halla yoxlama:

S_6 = 1+2+3+4+0+1 = 11

; düstur:

1\cdot 10 + 1 = 11

[+] Cavab:

4051

3Orta və çətin məsələlərYarımfinal səviyyəsi. Həllər tam əsaslandırılmışdır: istifadə olunan hər addımın səbəbi göstərilir.

Məsələ 43.

1

-dən

2026

-ya qədər (hər ikisi daxil olmaqla)

7

-yə bölünən bütün natural ədədlərin cəmini tapın.

Həll. Bu ədədlər

7, 14, 21, \dots

—

d = 7

fərqli ədədi silsilədir. Neçə dənədir? D11-dəki sayma:

\left\lfloor \dfrac{2026}{7} \right\rfloor = 289

(çünki

7 \cdot 289 = 2023 \le 2026 < 2030 = 7\cdot 290

). Sonuncu hədd

2023

-dür.

S = \frac{289(7 + 2023)}{2} = \frac{289 \cdot 2030}{2} = 289 \cdot 1015 = 293\,335 .

Kiçik halla yoxlama: eyni gedişlə

1

-dən

20

-yə qədər

7

-yə bölünənlər

7

və

14

; düstur

\frac{2(7+14)}{2} = 21 = 7+14

verir [+] Cavab:

293\,335

Məsələ 44.

1

-dən

2026

-ya qədər

7

-yə bölünməyən natural ədədlərin cəmini tapın.

Həll. "Bölünməyənlər" birbaşa silsilə təşkil etmir — ona görə tamamlayıcı sayma işlədirik: bütün ədədlərin cəmindən

7

-yə bölünənlərin cəmini çıxarırıq.Bütün ədədlərin cəmi:

\dfrac{2026\cdot 2027}{2} = 2\,053\,351

. Əvvəlki məsələdən

7

-yə bölünənlərin cəmi

293\,335

S = 2\,053\,351 - 293\,335 = 1\,760\,016 .

Cavab:

1\,760\,016

Məsələ 45.

1

-dən

2026

-ya qədər

3

-ə və ya

5

-ə bölünən ədədlərin cəmini tapın.

Həll. Üç ayrı silsilənin cəmini hesablayıb daxiletmə-çıxarma prinsipini tətbiq edək.

3

-ə bölünənlər: sayı

\left\lfloor \frac{2026}{3}\right\rfloor = 675

, sonuncusu

2025

;

S_3 = \frac{675(3+2025)}{2} = 675 \cdot 1014 = 684\,450

5

-ə bölünənlər: sayı

\left\lfloor \frac{2026}{5}\right\rfloor = 405

, sonuncusu

2025

;

S_5 = \frac{405(5+2025)}{2} = 405 \cdot 1015 = 411\,075

.Həm

3

-ə, həm

5

-ə bölünənlər

15

-ə bölünənlərdir: sayı

\left\lfloor \frac{2026}{15}\right\rfloor = 135

, sonuncusu

2025

;

S_{15} = \frac{135(15+2025)}{2} = 135 \cdot 1020 = 137\,700

.İkiqat sayılanları bir dəfə çıxaraq:

S = 684\,450 + 411\,075 - 137\,700 = 957\,825 .

Cavab:

957\,825

Məsələ 46.

1

-dən

2026

-ya qədər

3

-ə bölünən, lakin

5

-ə bölünməyən ədədlərin cəmini tapın.

Həll.

3

-ə bölünənlərdən

15

-ə bölünənləri çıxmaq kifayətdir:

3

-ə bölünən ədəd

5

-ə də bölünürsə, o,

15

-ə bölünür. Deməli

S = 684\,450 - 137\,700 = 546\,750 .

Cavab:

546\,750

Məsələ 47.

1

-dən

2026

-ya qədər nə

2

-yə, nə də

3

-ə bölünən ədədlərin cəmini tapın.

Həll. Tamamlayıcı sayma + daxiletmə-çıxarma.

2

-yə bölünənlər: sayı

1013

, sonuncusu

2026

;

S_2 = \frac{1013(2+2026)}{2} = 1013 \cdot 1014 = 1\,027\,182

3

-ə bölünənlər:

S_3 = 684\,450

(yuxarıda).

6

-ya bölünənlər: sayı

\left\lfloor \frac{2026}{6}\right\rfloor = 337

, sonuncusu

2022

;

S_6 = \frac{337(6+2022)}{2} = 337 \cdot 1014 = 341\,718

2

-yə və ya

3

-ə bölünənlərin cəmi:

1\,027\,182 + 684\,450 - 341\,718 = 1\,369\,914

.Nəhayət:

S = 2\,053\,351 - 1\,369\,914 = 683\,437 .

Cavab:

683\,437

Məsələ 48.

4

-ə bölünən bütün üçrəqəmli ədədlərin cəmini tapın.

Həll. Ən kiçiyi

100

, ən böyüyü

996

, fərq

4

. Hədlərin sayı:

\dfrac{996-100}{4} + 1 = 224 + 1 = 225

. (Diqqət:

+1

unudulmamalıdır — kiçik hal:

100, 104, 108

üçün

\frac{108-100}{4}+1 = 3

[+])

S = \frac{225(100+996)}{2} = 225 \cdot 548 = 123\,300 .

Cavab:

123\,300

Məsələ 49. Ədədi silsilədə

m \ne n

və

S_m = S_n

olarsa,

S_{m+n} = 0

olduğunu isbat edin.

Həll. Cəm düsturunu ikinci formada yazaq:

S_k = \dfrac{k\bigl(2a_1 + (k-1)d\bigr)}{2}

. Şərtdən:

\frac{m\bigl(2a_1+(m-1)d\bigr)}{2} = \frac{n\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr)}{2} .

Açıb bir tərəfə keçirək:

2a_1(m-n) + d\bigl(m^2 - m - n^2 + n\bigr) = 0 ,

2a_1(m-n) + d\bigl((m-n)(m+n) - (m-n)\bigr) = 0 ,

(m-n)\bigl(2a_1 + d(m+n-1)\bigr) = 0 .

m \ne n

olduğundan

m - n \ne 0

, deməli

2a_1 + (m+n-1)d = 0

. İndi

S_{m+n} = \frac{(m+n)\bigl(2a_1 + (m+n-1)d\bigr)}{2} = \frac{(m+n)\cdot 0}{2} = 0 .

Cavab: İsbat olundu.

Məsələ 50. Ədədi silsilədə

S_{10} = 100

S_{100} = 10

S_{110}

-u tapın.

Həll. İki tənlik yazaq:

\frac{10(2a_1+9d)}{2} = 100 \Rightarrow 2a_1 + 9d = 20 ,

\frac{100(2a_1+99d)}{2} = 10 \Rightarrow 2a_1 + 99d = \frac{1}{5} .

Çıxaraq:

90d = \dfrac15 - 20 = -\dfrac{99}{5}

, buradan

d = -\dfrac{11}{50}

. Onda

2a_1 = 20 - 9d = 20 + \dfrac{99}{50} = \dfrac{1099}{50}

S_{110} = \frac{110\bigl(2a_1 + 109d\bigr)}{2} = 55\left(\frac{1099}{50} - \frac{1199}{50}\right) = 55 \cdot \left(-\frac{100}{50}\right) = -110 .

Zərif yol.

T_k = \dfrac{S_k}{k} = a_1 + \dfrac{(k-1)d}{2}

qoysaq,

(T_k)

özü fərqi

\dfrac{d}{2}

olan ədədi silsilədir! Şərtdən

T_{10} = 10

T_{100} = \dfrac{1}{10}

, deməli

90 \cdot \dfrac{d}{2} = \dfrac{1}{10} - 10 = -\dfrac{99}{10}

, yəni

\dfrac{d}{2} = -\dfrac{11}{100}

. Onda

T_{110} = T_{10} + 100\cdot\dfrac{d}{2} = 10 - 11 = -1

və

S_{110} = 110 \cdot T_{110} = -110

. Cavab:

S_{110} = -110

Məsələ 51. Ədədi silsilədə

a_p = q

və

a_q = p

(p \ne q)

olarsa,

a_{p+q} = 0

olduğunu isbat edin.

Həll. İki həddin əlaqəsindən:

a_q = a_p + (q-p)d

, yəni

p = q + (q-p)d

, buradan

p - q = (q-p)d

, deməli

d = -1

(çünki

p \ne q

).Onda

a_1 = a_p - (p-1)d = q + (p-1) = p + q - 1

və

a_{p+q} = a_1 + (p+q-1)d = (p+q-1) - (p+q-1) = 0 .

Cavab: İsbat olundu.

Məsələ 52. Ədədi silsilədə

S_p = q

və

S_q = p

(p \ne q)

olarsa,

S_{p+q} = -(p+q)

olduğunu isbat edin.

Həll.

S_k = \dfrac{k(2a_1+(k-1)d)}{2}

işarələməsi ilə:

\frac{p(2a_1+(p-1)d)}{2} = q,\qquad \frac{q(2a_1+(q-1)d)}{2} = p .

Birinciyə

q

-nu, ikinciyə

p

-ni "çarpaz" tətbiq etmək əvəzinə sadəcə çıxaraq:

\frac{2a_1(p-q) + d\bigl(p(p-1) - q(q-1)\bigr)}{2} = q - p .

p(p-1) - q(q-1) = (p-q)(p+q-1)

olduğundan sol tərəfdə

(p-q)

vuruq kimi çıxır:

\frac{(p-q)\bigl(2a_1 + d(p+q-1)\bigr)}{2} = -(p-q) .

p \ne q

olduğundan

(p-q)

-ya bölmək olar:

2a_1 + (p+q-1)d = -2

. Nəhayət

S_{p+q} = \frac{(p+q)\bigl(2a_1+(p+q-1)d\bigr)}{2} = \frac{(p+q)(-2)}{2} = -(p+q) .

Cavab: İsbat olundu.

Məsələ 53. Ədədi silsilədə

a_1 = 100

d = -7

S_n

ən böyük qiymətini hansı

n

-də alır və bu qiymət nə qədərdir?

Həll. Cəm o vaxta qədər artır ki, əlavə olunan hədlər müsbətdir:

a_n = 100 - 7(n-1) = 107 - 7n \ge 0 \iff n \le \frac{107}{7} = 15\tfrac27 .

Deməli

a_{15} = 2 > 0

a_{16} = -5 < 0

: cəm

n = 15

-ə qədər artır, sonra azalır.

S_{15} = \frac{15(200 + 14\cdot(-7))}{2} = \frac{15 \cdot 102}{2} = 765 .

Yoxlama:

S_{14} = \frac{14(200-91)}{2} = 763

S_{16} = 765 - 5 = 760

— doğrudan da maksimum

n = 15

-dədir. Cavab:

n = 15

S_{15} = 765

Məsələ 54.

3, 7, 11, 15, \dots

ədədi silsiləsinin heç bir həddinin tam kvadrat olmadığını isbat edin.

Həll. Ümumi hədd:

a_n = 4n - 1

, yəni hər hədd

4

-ə bölündükdə

3

qalığını verir:

a_n \equiv 3 \pmod 4

.Digər tərəfdən istənilən tam ədədin kvadratı

4

-ə bölündükdə yalnız

0

və ya

1

qalığını verə bilər:

(2t)^2 = 4t^2 \equiv 0, \qquad (2t+1)^2 = 4(t^2+t) + 1 \equiv 1 \pmod 4 .

3 \notin \{0, 1\}

olduğundan silsilədə tam kvadrat ola bilməz. Cavab: İsbat olundu.

Məsələ 55.

2, 5, 8, 11, \dots

silsiləsində tam kvadrat varmı?

Həll.

a_n = 3n - 1 \equiv 2 \pmod 3

. Kvadratların

3

-ə bölünməsindən qalıqları:

(3t)^2 \equiv 0

(3t\pm1)^2 = 9t^2 \pm 6t + 1 \equiv 1 \pmod 3

— yalnız

0

və

1

2

bu siyahıda yoxdur. Cavab: Yoxdur.

Məsələ 56.

3, 12, 21, 30, \dots

silsiləsində tam kub varmı?

Həll.

a_n = 9n - 6 \equiv 3 \pmod 9

. Kubların

9

-a bölünməsindən qalıqlarını tapaq. Hər tam ədəd

3t

3t+1

və ya

3t+2

şəklindədir:

(3t)^3 = 27t^3 \equiv 0,\qquad (3t\pm1)^3 = 27t^3 \pm 27t^2 + 9t \pm 1 \equiv \pm 1 \pmod 9 .

Deməli kublar yalnız

0

1

8

qalıqlarını verir.

3

bu siyahıda olmadığından silsilədə tam kub yoxdur. Cavab: Yoxdur.

Məsələ 57.

1, 4, 7, 10, \dots

silsiləsində sonsuz sayda tam kvadrat olduğunu isbat edin.

Həll.

a_n = 3n - 2 \equiv 1 \pmod 3

— deməli silsilə

3

-ə bölündükdə

1

qalığını verən bütün natural ədədlərdən ibarətdir.İstənilən

k

üçün

(3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 \equiv 1 \pmod 3

. Deməli

(3k+1)^2

ədədi silsilənin həddidir.

k = 0, 1, 2, \dots

götürsək

1, 16, 49, 100, \dots

— sonsuz sayda tam kvadrat alınır.(Doğrudan da

16 = 3\cdot 6 - 2 = a_6

49 = 3 \cdot 17 - 2 = a_{17}

.) Cavab: İsbat olundu.

Məsələ 58. Tam ədədlərdən ibarət ədədi silsilədə heç olmasa bir tam kvadrat varsa, onda sonsuz sayda tam kvadrat olduğunu isbat edin.

Həll. Tutaq ki, fərqi

d

olan silsilədə

a_k = m^2

həddi var. Deməli silsilənin hədləri

m^2 + td

(

t = 0, 1, 2, \dots

) ədədlərini əhatə edir.İndi istənilən natural

t

üçün

(m + td)^2 = m^2 + 2mtd + t^2d^2 = m^2 + d\bigl(2mt + t^2 d\bigr)

yazaq. Mötərizədəki ifadə tam ədəddir, deməli

(m+td)^2

ədədi

a_k

-dan

d

-nin tam misli qədər fərqlənir — yəni silsilənin həddidir (indeks

k + 2mt + t^2d

;

d > 0

halında bu indekslər artır,

d<0

halında

t

-ni mənfi seçmək kifayətdir).Müxtəlif

t

-lər müxtəlif tam kvadratlar verdiyindən onların sayı sonsuzdur. Cavab: İsbat olundu.

Məsələ 59.

1, 4, 7, 10, \dots

ədədi silsiləsinin hədləri arasından sonsuz həndəsi silsilə seçmək olarmı?

Həll. Olar. Silsilə

3

-ə bölündükdə

1

qalığını verən ədədlərdən ibarətdir.

4 \equiv 1 \pmod 3

olduğundan

4^k \equiv 1^k = 1 \pmod 3 \qquad (k = 0, 1, 2, \dots),

yəni

1, 4, 16, 64, 256, \dots

ədədlərinin hamısı silsilənin həddidir. Bu isə

q = 4

məxrəcli həndəsi silsilədir. Cavab: Bəli:

1, 4, 16, 64, \dots

(yəni

4^k

Məsələ 60. Həndəsi silsilənin ilk üç həddi tam ədəddir və məxrəci

q = \dfrac{m}{k}

ixtisar olunmuş kəsrdir (

k > 1

b_1

-in

k^2

-ə bölündüyünü isbat edin.

Həll.

b_2 = \dfrac{b_1 m}{k}

tam olmalıdır.

\operatorname{\text{ƏBOB}}(m,k) = 1

olduğundan

k \mid b_1

b_3 = \dfrac{b_1 m^2}{k^2}

də tam olmalıdır, yəni

k^2 \mid b_1 m^2

\operatorname{\text{ƏBOB}}(m,k) = 1

olduğundan

\operatorname{\text{ƏBOB}}(m^2,k^2) = 1

, deməli

k^2 \mid b_1

. Cavab: İsbat olundu.

Qeyd. Bu nəticə praktikdir: "hədləri tam olan həndəsi silsilə" məsələlərində

q = \frac{m}{k}

yazan kimi

b_1

-in

k^2

-ə bölünməli olduğunu bilirik — bu, mümkün variantları kəskin azaldır. Məsələn

b_1 = 12

olarsa

k^2 \mid 12

, deməli

k \in \{1, 2\}

: məxrəc ya tamdır, ya da məxrəcində

2

olan kəsr.

Məsələ 61. Həndəsi silsilə təşkil edən üç ədədin cəmi

26

, hasili

216

-dır. Bu ədədləri tapın.

Həll. Hasilə görə orta hədd dərhal tapılır: ədədləri

\frac{b}{q}, b, bq

kimi yazsaq, hasil

b^3 = 216

, yəni

b = 6

.Onda qalan iki ədədin cəmi

26 - 6 = 20

, hasili isə

\frac{6}{q}\cdot 6q = 36

. Viyet teoreminə görə onlar

t^2 - 20t + 36 = 0

tənliyinin kökləridir:

t = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 144}}{2} = \frac{20 \pm 16}{2} = 18 \ \text{və}\ 2 .

Cavab:

2,\ 6,\ 18

(və ya tərs sıra ilə).

Məsələ 62. Bir ardıcıllığın ilk

n

həddinin cəmi

S_n = 2(3^{\,n}-1)

-dir. Ardıcıllığın həndəsi silsilə olduğunu göstərin.

Həll.

n \ge 2

üçün

a_n = S_n - S_{n-1} = 2\bigl(3^{\,n} - 3^{\,n-1}\bigr) = 2\cdot 3^{\,n-1}(3-1) = 4\cdot 3^{\,n-1} .

n = 1

yoxlaması:

a_1 = S_1 = 2(3-1) = 4

, düstur da

4\cdot 3^0 = 4

verir — uyğundur.Deməli hər

n

üçün

a_n = 4\cdot3^{\,n-1}

: bu,

b_1 = 4

q = 3

olan həndəsi silsilədir. Cavab:

a_n = 4\cdot 3^{\,n-1}

, həndəsi silsilədir.

Məsələ 63. Bir ardıcıllığın ilk

n

həddinin cəmi

S_n = 3^{\,n}+1

-dir. Bu ardıcıllıq həndəsi silsilədirmi?

Həll.

n \ge 2

üçün

a_n = (3^{\,n}+1) - (3^{\,n-1}+1) = 2\cdot 3^{\,n-1}

n = 1

a_1 = S_1 = 4

, düstur isə

2

verir — uyğun gəlmir. Deməli

a_1 = 4

a_n = 2\cdot3^{\,n-1}

(n \ge 2)

və

\dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{6}{4} = \dfrac32

\dfrac{a_3}{a_2} = 3

— nisbətlər bərabər deyil. Cavab: Xeyr; yalnız ikinci hədddən başlayaraq həndəsi silsilədir.

Məsələ 64. Həndəsi silsilədə

S_3 = 21

S_6 = 189

S_9

-u tapın.

Həll.

q = 1

ola bilməz (onda

S_6 = 2S_3

olardı, yəni

42 \ne 189

). Deməli düsturdan istifadə edə bilərik:

\frac{S_6}{S_3} = \frac{b_1(q^6-1)/(q-1)}{b_1(q^3-1)/(q-1)} = \frac{q^6-1}{q^3-1} = q^3 + 1 .

Buradan

q^3 + 1 = \dfrac{189}{21} = 9

, yəni

q^3 = 8

q = 2

S_3 = b_1(1+q+q^2) = 7b_1 = 21 \Rightarrow b_1 = 3

S_9 = \frac{3(2^9-1)}{2-1} = 3 \cdot 511 = 1533 .

Yoxlama:

S_3 = 3+6+12 = 21

[+],

S_6 = 21 + (24+48+96) = 189

[+] Cavab:

S_9 = 1533

Məsələ 65. Dörd ədəddən ilk üçü ədədi, son üçü isə həndəsi silsilə təşkil edir. Birinci və dördüncü ədədin cəmi

14

, ortadakı iki ədədin cəmi isə

12

-dir. Bu ədədləri tapın.

Həll. Ədədləri

a, b, c, e

ilə işarə edək. Şərtlər:

2b = a + c, \qquad c^2 = be, \qquad a + e = 14, \qquad b + c = 12 .

Sonuncudan

c = 12 - b

. Birincidən

a = 2b - c = 3b - 12

. İkincidən

e = \dfrac{c^2}{b} = \dfrac{(12-b)^2}{b}

(burada

b \ne 0

, çünki

b

həndəsi silsilənin həddidir).Üçüncü şərtə yerləşdirək:

3b - 12 + \frac{(12-b)^2}{b} = 14 .

b

-yə vuraq:

3b^2 - 12b + 144 - 24b + b^2 = 14b

, yəni

4b^2 - 50b + 144 = 0

, sadələşdirsək

2b^2 - 25b + 72 = 0

. Diskriminant

625 - 576 = 49

b = \frac{25 \pm 7}{4} = 8 \ \text{və ya}\ \frac{9}{2}.

b = 8

c = 4

a = 12

e = 2

— ədədlər

12, 8, 4, 2

. Yoxlama:

12, 8, 4

ədədi silsilədir (

d = -4

);

8, 4, 2

həndəsidir (

q = \frac12

);

12+2 = 14

[+],

8+4 = 12

[+]

b = \frac92

c = \frac{15}{2}

a = \frac32

e = \frac{25}{2}

— ədədlər

\frac32, \frac92, \frac{15}{2}, \frac{25}{2}

. Yoxlama:

\frac32, \frac92, \frac{15}{2}

ədədi silsilədir (

d = 3

);

\left(\frac{15}{2}\right)^2 = \frac{225}{4} = \frac92\cdot\frac{25}{2}

[+];

\frac32 + \frac{25}{2} = 14

[+] Cavab:

12, 8, 4, 2

və ya

\dfrac32, \dfrac92, \dfrac{15}{2}, \dfrac{25}{2}

Məsələ 66. Dörd ədəddən ilk üçü həndəsi, son üçü isə ədədi silsilə təşkil edir. Birinci və dördüncünün cəmi

16

, ortadakı ikisinin cəmi

12

-dir. Bu ədədləri tapın.

Həll. Ədədlər

a, b, c, e

olsun:

b^2 = ac,\qquad 2c = b + e,\qquad a + e = 16,\qquad b + c = 12 .

c = 12 - b

a = \dfrac{b^2}{c} = \dfrac{b^2}{12-b}

e = 2c - b = 24 - 3b

. Üçüncü şərt:

\frac{b^2}{12-b} + 24 - 3b = 16 \ \Rightarrow\ \frac{b^2}{12-b} = 3b - 8 \ \Rightarrow\ b^2 = (3b-8)(12-b) .

Sağı açaq:

36b - 3b^2 - 96 + 8b

, yəni

4b^2 - 44b + 96 = 0

, sadələşdirsək

b^2 - 11b + 24 = 0

, buradan

b = 3

və ya

b = 8

b = 3

c = 9

a = \frac{9}{9} = 1

e = 15

— ədədlər

1, 3, 9, 15

. Yoxlama:

1,3,9

həndəsidir (

q=3

);

3,9,15

ədədidir (

d=6

);

1+15 = 16

[+],

3+9 = 12

[+]

b = 8

c = 4

a = \frac{64}{4} = 16

e = 0

— ədədlər

16, 8, 4, 0

. Yoxlama:

16,8,4

həndəsidir (

q = \frac12

);

8,4,0

ədədidir (

d=-4

);

16+0 = 16

[+],

8+4 = 12

[+] Cavab:

1, 3, 9, 15

və ya

16, 8, 4, 0

Məsələ 67.

x^3 - 12x^2 + 44x - 48 = 0

tənliyinin köklərinin ədədi silsilə təşkil etdiyi məlumdur. Kökləri tapın.

Həll. Kökləri

b-d,\ b,\ b+d

kimi yazaq. Viyet teoreminə görə köklərin cəmi

12

-dir:

(b-d) + b + (b+d) = 3b = 12 \Rightarrow b = 4 .

Deməli

4

tənliyin köküdür:

64 - 192 + 176 - 48 = 0

[+]Bezu teoreminə görə (F15) çoxhədli

x - 4

-ə bölünür:

x^3 - 12x^2 + 44x - 48 = (x-4)(x^2 - 8x + 12) = (x-4)(x-2)(x-6).

Cavab:

2,\ 4,\ 6

Məsələ 68.

x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = 0

tənliyinin kökləri həndəsi silsilə təşkil edir. Kökləri tapın.

Həll. Kökləri

\frac{b}{q},\ b,\ bq

kimi yazaq. Viyet teoreminə görə köklərin hasili

8

-dir:

\frac{b}{q}\cdot b \cdot bq = b^3 = 8 \Rightarrow b = 2 .

2

-ni yoxlayaq:

8 - 28 + 28 - 8 = 0

[+] Vuruqlara ayıraq:

x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = (x-2)(x^2 - 5x + 4) = (x-2)(x-1)(x-4).

Cavab:

1,\ 2,\ 4

Məsələ 69.

x^3 - 9x^2 + 23x - a = 0

tənliyinin köklərinin ədədi silsilə təşkil etməsi üçün

a

nəyə bərabər olmalıdır?

Həll. Kökləri

b-d,\ b,\ b+d

kimi yazaq. Viyet teoremindən:

\begin{align*} \text{cəm:}\quad & 3b = 9 \Rightarrow b = 3,\\ \text{cüt-cüt hasillərin cəmi:}\quad & (b-d)b + (b-d)(b+d) + b(b+d) = 23,\\ \text{hasil:}\quad & (b-d)\,b\,(b+d) = a . \end{align*}

İkinci şərtdə

b = 3

qoyaq:

3b^2 - d^2 = 27 - d^2 = 23

, deməli

d^2 = 4

d = \pm 2

. Kökləri:

1, 3, 5

.Onda

a = 1\cdot3\cdot5 = 15

. Yoxlama:

x^3 - 9x^2+23x-15 = (x-1)(x-3)(x-5)

— açıb baxsaq doğrudur. Cavab:

a = 15

(köklər

1, 3, 5

Məsələ 70.

a_1 = 1

a_2 = 2

və

a_{n+1} = |a_n| - a_{n-1}

(n \ge 2)

olarsa, ilk

2026

həddin cəmini tapın.

Həll. Hədləri ardıcıl hesablayaq:

\begin{array}{llll} a_1 = 1, & a_2 = 2, & a_3 = |2| - 1 = 1, & a_4 = |1| - 2 = -1,\\[1mm] a_5 = |-1| - 1 = 0, & a_6 = |0| + 1 = 1, & a_7 = |1| - 0 = 1, & a_8 = |1| - 1 = 0,\\[1mm] a_9 = |0| - 1 = -1, & a_{10} = |-1| - 0 = 1, & a_{11} = |1| + 1 = 2. & \end{array}

(a_{10}, a_{11}) = (1, 2) = (a_1, a_2)

— qayda ikinci tərtib olduğundan məhz ardıcıl iki həddin təkrarı lazım idi və o baş verdi. Deməli period

T = 9

.Bir dövrün cəmi:

a_1 + \cdots + a_9 = 1+2+1-1+0+1+1+0-1 = 4 .

2026 = 9 \cdot 225 + 1

, yəni

225

tam dövr və bir əlavə hədd:

S_{2026} = 225 \cdot 4 + a_1 = 900 + 1 = 901 .

Cavab:

S_{2026} = 901

Məsələ 71.

a_1 = 5

a_2 = 8

və

a_{n+1} = a_n - a_{n-1}

olarsa, ilk

2026

həddin cəmini tapın.

Həll. Hədlər:

5,\ 8,\ 3,\ -5,\ -8,\ -3,\ 5,\ 8, \dots

(a_7, a_8) = (5, 8) = (a_1, a_2)

, deməli

T = 6

.Bir dövrün cəmi:

5+8+3-5-8-3 = 0

2026 = 6\cdot 337 + 4

S_{2026} = 337\cdot 0 + (5 + 8 + 3 - 5) = 11 .

Cavab:

S_{2026} = 11

Qeyd.

a_{n+1} = a_n - a_{n-1}

qaydası həmişə period

6

verir (başlanğıc hədlərdən asılı olmayaraq) və bir dövrün cəmi həmişə sıfırdır. Doğrudan da

a_1 = x

a_2 = y

üçün hədlər

x,\ y,\ y-x,\ -x,\ -y,\ x-y,\ x,\ y,\dots

olur. Bu, məsələlərdə hazır alət kimi işlədilə bilər.

Məsələ 72.

a_1 = 5

a_{n+1} = \dfrac{1}{1-a_n}

olarsa, ilk

2026

həddin cəmini tapın.

Həll. Hədlər:

a_1 = 5,\quad a_2 = \frac{1}{1-5} = -\frac14,\quad a_3 = \frac{1}{1+\frac14} = \frac45,\quad a_4 = \frac{1}{1-\frac45} = 5 = a_1 .

Birinci tərtib qayda olduğundan period

T = 3

.Bir dövrün cəmi:

5 - \frac14 + \frac45 = \frac{100 - 5 + 16}{20} = \frac{111}{20}.

2026 = 3\cdot 675 + 1

S_{2026} = 675 \cdot \frac{111}{20} + a_1 = \frac{74\,925}{20} + 5 = \frac{74\,925 + 100}{20} = \frac{75\,025}{20} = \frac{15\,005}{4}.

Cavab:

S_{2026} = \dfrac{15\,005}{4} = 3751{,}25

Məsələ 73.

2^{2026}

ədədinin

7

-yə bölünməsindən alınan qalığı tapın.

Həll.

2

-nin qüvvətlərinin

7

-yə bölünməsindən qalıqları:

2,\ 4,\ 1,\ 2,\ 4,\ 1, \dots

(

2^3 = 8 \equiv 1

), yəni period

T = 3

2026 = 3\cdot 675 + 1

, qalıq

1

: deməli axtarılan qalıq ardıcıllığın birinci həddidir. Cavab:

2

Məsələ 74.

a_1 = 0

a_2 = 1

və

a_{n+1} = a_n - a_{n-1}

olan ardıcıllıqda

a_4 = a_1

olur. Buradan "period

3

-dür" nəticəsi çıxarmaq olarmı?

Həll. Xeyr. Hədləri yazaq:

0,\ 1,\ 1,\ 0,\ -1,\ -1,\ 0,\ 1,\ 1,\ \dots

Doğrudan da

a_4 = 0 = a_1

. Amma

a_5 = -1

a_2 = 1

— yəni

a_5 \ne a_2

, deməli period

3

deyil.Səbəb: qayda ikinci tərtibdir — növbəti hədd iki əvvəlki hədddən asılıdır. Ona görə təkrarı təsdiqləmək üçün ardıcıl iki həddin cütü təkrarlanmalıdır. Burada

(a_7, a_8) = (0, 1) = (a_1, a_2)

, deməli əsl period

T = 6

-dır. Cavab: Olmaz; əsl period

6

-dır.

Məsələ 75. Rəqəmləri (yazıldığı sıra ilə) həndəsi silsilə təşkil edən bütün üçrəqəmli ədədləri tapın.

Həll. Ədəd

\overline{xyz}

olsun. Həndəsi silsilədə heç bir hədd sıfır ola bilmədiyindən

x, y, z \in \{1, \dots, 9\}

və şərt

y^2 = xz

-dir.

y

-nin hər qiyməti üçün

xz = y^2

olan

(x, z)

cütlərini sayaq (hər ikisi

1

–

9

arasında):

\begin{array}{ll} y = 1:\ xz = 1 \Rightarrow (1,1) & \Rightarrow 111\\ y = 2:\ xz = 4 \Rightarrow (1,4),(2,2),(4,1) & \Rightarrow 124,\ 222,\ 421\\ y = 3:\ xz = 9 \Rightarrow (1,9),(3,3),(9,1) & \Rightarrow 139,\ 333,\ 931\\ y = 4:\ xz = 16 \Rightarrow (2,8),(4,4),(8,2) & \Rightarrow 248,\ 444,\ 842\\ y = 5:\ xz = 25 \Rightarrow (5,5) & \Rightarrow 555\\ y = 6:\ xz = 36 \Rightarrow (4,9),(6,6),(9,4) & \Rightarrow 469,\ 666,\ 964\\ y = 7:\ xz = 49 \Rightarrow (7,7) & \Rightarrow 777\\ y = 8:\ xz = 64 \Rightarrow (8,8) & \Rightarrow 888\\ y = 9:\ xz = 81 \Rightarrow (9,9) & \Rightarrow 999 \end{array}

(

y = 4

üçün

(1,16)

kimi cütlər rəqəm olmadığı üçün atılır; digər sətirlərdə də yalnız

1

–

9

aralığındakılar saxlanılıb.) Cavab:

111, 124, 139, 222, 248, 333, 421, 444, 469, 555, 666, 777, 842, 888, 931, 964, 999

— cəmi

17

ədəd.

Məsələ 76.

1 + 11 + 111 + \cdots + \underbrace{11\dots1}_{n}

cəmini hesablayın.

Həll.

k

dənə vahiddən ibarət ədədi həndəsi silsilə cəmi kimi yazaq:

\underbrace{11\dots1}_{k} = 1 + 10 + \cdots + 10^{\,k-1} = \frac{10^{\,k}-1}{9}.

Onda

S = \sum_{k=1}^{n} \frac{10^{\,k}-1}{9} = \frac{1}{9}\left(\bigl(10 + 10^2 + \cdots + 10^{\,n}\bigr) - n\right).

Mötərizədəki cəm yenə həndəsi silsilədir (

b_1 = 10

q = 10

n

hədd):

10 + \cdots + 10^{\,n} = \frac{10\bigl(10^{\,n}-1\bigr)}{9} = \frac{10^{\,n+1}-10}{9}.

Deməli

S = \frac{1}{9}\left(\frac{10^{\,n+1}-10}{9} - n\right) = \frac{10^{\,n+1} - 9n - 10}{81}.

Kiçik halla yoxlama:

n = 4

üçün düstur

\frac{100000 - 36 - 10}{81} = \frac{99954}{81} = 1234

verir; doğrudan da

1 + 11 + 111 + 1111 = 1234

[+] Cavab:

S = \dfrac{10^{\,n+1} - 9n - 10}{81}

Məsələ 77.

2026

ədədinin bütün natural bölənlərinin cəmini həndəsi silsilə cəmindən istifadə edərək tapın.

Həll.

2026 = 2 \cdot 1013

, burada

1013

sadə ədəddir (yoxlamaq üçün

\sqrt{1013} < 32

olduğundan

32

-dən kiçik sadə ədədlərə bölünmə yoxlanılır).Bölənlər

2^{\,i}\cdot 1013^{\,j}

(

i, j \in \{0,1\}

) şəklindədir və bölənlərin cəmi mötərizələrin hasilinə ayrılır — hər mötərizə həndəsi silsilə cəmidir:

\sigma(2026) = (1 + 2)(1 + 1013) = 3 \cdot 1014 = 3042 .

Yoxlama: bölənlər

1, 2, 1013, 2026

; cəmləri

1+2+1013+2026 = 3042

[+] Cavab:

3042

Məsələ 78. Bütün hədləri natural ədəd olan elə ədədi silsilə varmı ki, ilk

10

həddin cəmi

2026

olsun?

Həll. Cəm düsturuna görə

S_{10} = \frac{10\bigl(2a_1 + 9d\bigr)}{2} = 5\bigl(2a_1+9d\bigr).

Deməli

S_{10}

mütləq

5

-ə bölünməlidir.

2026

isə

5

-ə bölünmür (

2026 = 5\cdot 405 + 1

). Cavab: Yoxdur.

Məsələ 79. Ədədi silsilə təşkil edən dörd ədədin cəmi

20

, kvadratlarının cəmi isə

120

-dir. Bu ədədləri tapın.

Həll. Dörd hədd üçün simmetrik işarələmə seçək (fərq

2t

olsun):

a - 3t,\quad a - t,\quad a + t,\quad a + 3t .

Belə işarələmə cəmi dərhal sadələşdirir:

4a = 20 \Rightarrow a = 5

.Kvadratların cəmi:

(5-3t)^2 + (5-t)^2 + (5+t)^2 + (5+3t)^2 = 2(25 + 9t^2) + 2(25 + t^2) = 100 + 20t^2 .

100 + 20t^2 = 120 \Rightarrow t^2 = 1 \Rightarrow t = \pm 1

. Hər iki halda ədədlər eynidir (yalnız sıra tərsinə çevrilir):

2, 4, 6, 8

.Yoxlama:

2+4+6+8 = 20

[+],

4+16+36+64 = 120

[+] Cavab:

2,\ 4,\ 6,\ 8

Məsələ 80.

a_1 = 2

a_2 = 3

və

a_{n+2} = \dfrac{a_{n+1}}{a_n}

olarsa,

a_{2026}

-nı və ilk

2026

həddin cəmini tapın.

Həll. Hədləri hesablayaq:

a_1 = 2,\ \ a_2 = 3,\ \ a_3 = \frac32,\ \ a_4 = \frac{3/2}{3} = \frac12,\ \ a_5 = \frac{1/2}{3/2} = \frac13,\ \ a_6 = \frac{1/3}{1/2} = \frac23,

a_7 = \frac{2/3}{1/3} = 2,\qquad a_8 = \frac{2}{2/3} = 3 .

(a_7, a_8) = (2, 3) = (a_1, a_2)

— ikinci tərtib qaydada tələb olunan cüt təkrarı baş verdi, deməli

T = 6

2026 = 6\cdot 337 + 4

, qalıq

4

a_{2026} = a_4 = \dfrac12

.Bir dövrün cəmi:

2 + 3 + \frac32 + \frac12 + \frac13 + \frac23 = 5 + 2 + 1 = 8 .

Qalıq hissə:

a_1+a_2+a_3+a_4 = 2 + 3 + \frac32 + \frac12 = 7

S_{2026} = 337 \cdot 8 + 7 = 2696 + 7 = 2703 .

Cavab:

a_{2026} = \dfrac12

S_{2026} = 2703