Sadə və mürəkkəb ədədlər. Tək və cüt ədədlərin xassələri

İsbat. İkinci sətrin ortasındakı xassəni yoxlayaq (digərləri də eyni qayda ilə isbat olunur): $(2k+1)(2m+1) = 4km+2k+2m+1 = 2(2km+k+m)+1$ — bu ifadə tək ədədin ümumi şəklinə uyğundur. Birinci sətrin sağ xanası üçün: $2k+(2m+1) = 2(k+m)+1$ ifadəsi də eyni qayda ilə tək ədəddir. ■

İsbat. Hər bir salamlaşma düz iki iştirakçının hesabına $1$ vahid olaraq əlavə edilir, yəni ümumi cəmdə iki dəfə sayılır. Buradan alınır ki, cəm $= 2\cdot(\text{salamlaşmaların ümumi sayı})$, deməli, həmişə cütdür. Cəmin cüt olması üçün isə tək toplananların sayı mütləq cüt olmalıdır (Nəticə 2.3). ■

Həll. Tutaq ki, bu mümkündür. Bütün dostluq münasibətlərinin ümumi sayını hesablayaq. Hər bir insanın tam olaraq $1$ dostu olduğundan, cəmlənən «adam–dost» cütlərinin sayı $25$-dir. Amma hər bir dostluq iki insanı birləşdirdiyi üçün, apardığımız bu hesablamada hər bir dostluq əlaqəsi iki dəfə nəzərə alınmışdır. Buna əsasən, dostluqların həqiqi sayı $25/2$ olmalıdır, lakin bu tam ədəd deyil və deməli, ziddiyyət yaranır. Beləliklə, şərtə uyğun oturuşma mümkün deyil. □

İsbat. Əgər baxılan bütün sadə ədədlər tək olsaydı, tək sayda tək ədədin cəmi tək, cüt sayda tək ədədin cəmi isə cüt olardı (Nəticə 2.3). Hər iki hal məsələnin verilmiş şərti ilə ziddiyyət təşkil edir. Deməli, toplananlar arasında mütləq ən azı bir cüt sadə ədəd mövcuddur — bu isə yalnız $2$ ola bilər. ■

İsbat. Fərz edək ki, $n$-in $1$-dən böyük olan ən kiçik böləni $d$-dir. Tutaq ki, $d$ sadə ədəd deyil. O zaman $d$-nin elə bir $m$ böləni var ki, $1 < m < d$ şərti ödənilir. Amma $m \mid d$ və $d \mid n$ olduğundan, $m \mid n$ nəticəsi alınır — yəni, $n$-in $1$-dən böyük, lakin $d$-dən kiçik başqa bir böləni tapıldı. Bu isə $d$-nin seçiminə (ən kiçik bölən olmasına) ziddir. Deməli, $d$ ədədi sadədir. ■

İsbat. Əgər $n$ mürəkkəbdirsə, onu $n = ab$ şəklində ifadə etmək olar (burada $1 < a \le b < n$). Əgər hər iki vuruq $\sqrt{n}$-dən böyük olsaydı, o zaman $ab > \sqrt{n}\cdot\sqrt{n} = n$ olardı — bu isə ziddiyyətdir. Deməli, $a \le \sqrt{n}$ olmalıdır. Lemma 3.4-ə görə, $a$-nın ən azı bir sadə böləni var və həmin bölən də $\sqrt{n}$-i aşmır. ■

İsbat. Fərz edək ki, sadə ədədlərin sayı sonludur və onların hamısı $p_1, p_2, \dots, p_k$ ədədlərindən ibarətdir. İndi isə aşağıdakı kimi bir ədəd qurub ona baxaq:

$$N = p_1 p_2 \cdots p_k + 1.$$

$N > 1$ olduğundan, Lemma 3.4-ə görə $N$-in ən azı bir sadə böləni var — gəlin onu $p$ adlandıraq. Lakin $p$ ədədi bizim siyahıdakı $p_1,\dots,p_k$-dan heç biri ola bilməz: çünki $N$-i $p_i$-lərdən hər hansı birinə böldükdə mütləq $1$ qalığı alınır. Deməli, $p$ bizim «bütün sadələr» siyahımızda olmayan yeni bir sadə ədəddir — yəni fərziyyəmiz yanlışdır, siyahı tam deyilmiş. Alınan ziddiyyət onu göstərir ki, sadə ədədlər sonsuz saydadır. ■

İsbat. (Stiltjesin isbatı). Yenidən fərz edək ki, sadə ədədlər sonlu saydadır və onları $p_1, p_2, \ldots, p_r$ olaraq işarələyək. Tutaq ki, $N = p_1\cdot p_2 \cdots p_r$ və $N = m\cdot n$ ($m, n \geq 1$), $N$-in hər hansı bir vuruqlara ayrılışıdır. Bizə məlumdur ki, hər bir $p_i$ sadə ədədi $m$ və $n$-dən tam olaraq yalnız birini bölür. O zaman heç bir $p_i$ sadə ədədi $m + n$ cəmini bölməyəcək. Bu o deməkdir ki, $m + n$ mövcud olan heç bir sadə ədədə bölünmür. Bu isə aydındır ki, ziddiyyətdir. ■

Həll. Verilmiş tək ədədləri uyğun olaraq $a=2k+1$ və $b=2m+1$ şəklində yazaq. Onda,

$$a-b = (2k+1)-(2m+1) = 2k-2m = 2(k-m)$$

alınır, yəni onların fərqi $2\cdot(\text{tam ədəd})$ şəklində ifadə olunur. Cavab: Həmişə cütdür.□

Həll. Cəmin cütlüyü yalnız toplananlar arasındakı tək ədədlərin sayından asılıdır. $1$-dən $101$-ə qədər olan tək ədədlər $1,3,5,\dots,101$-dir; onların sayı isə $\frac{101+1}{2}=51$, yəni tək ədəddir. Tək sayda tək ədədin cəmi tək olduğuna görə, yekun cəm də təkdir. (Yoxlama üçün: $1+2+\dots+101 = \frac{101\cdot 102}{2}=5151$.) Cavab: Təkdir.□

Həll. $5a$ tək ($\text{tək}\cdot\text{tək}$), $3b$ isə cütdür, deməli, $5a+3b$ təkdir. $ab$ hasili cütdür (içində cüt vuruq var), $b$ də cütdür $\Rightarrow$ $ab+b$ cəmi cütdür. $a^2$ tək, $b^2$ cüt $\Rightarrow$ $a^2+b^2$ təkdir. $a+b$ cəmi təkdir, tək ədədin istənilən qüvvəti də tək olduğundan $\Rightarrow$ $(a+b)^3$ təkdir. Cavab: tək,  cüt,  tək,  tək.□

Həll. $n$ və $n+1$ ardıcıl ədədlərdir, deməli onlardan biri mütləq cütdür. Hasilin vuruqlarından ən azı biri cüt olduqda, ümumi hasil də həmişə cüt olur. Cavab: Həmişə cütdür.□

Həll. Hasildəki vuruqlardan biri, yəni $2024$ cüt olduğundan, hasil də cütdür. Cüt ədədə $1$ əlavə etdikdə isə tək ədəd alınır. Cavab: Təkdir.□

Həll. $n^2 + n = n(n+1)$ ifadəsi iki ardıcıl tam ədədin hasilidir. Ardıcıl iki ədəddən biri mütləq cüt olduğu üçün onların hasili də həmişə cütdür. Yəni, ifadənin tək olduğu hal yoxdur. Cavab: Heç biri: şərti ödəyən belə $n$ yoxdur.□

Həll. Cəmin tək olması üçün tək toplananların sayı mütləq tək olmalıdır. Yeddi ədəd arasında tək ədədlərin ümumi sayı $0,1,2,\dots,7$ variantlarından biri ola bilər; bunlardan tək olanları isə $1,3,5,7$-dir. Cavab: $1$, $3$, $5$ və ya $7$ (hər halda ən azı bir tək ədəd mövcuddur).□

Həll. $111 = 3\cdot 37$, $121 = 11^2$ — bunların hər ikisi mürəkkəbdir. $101$ üçün $\sqrt{101}<11$: $2,3,5,7$ ədədlərinə bölünmür $\Rightarrow$ sadədir. $127$ üçün $\sqrt{127}<12$: $2,3,5,7,11$ ədədlərinə bölünmür $\Rightarrow$ sadədir. Cavab: $101$ və $127$.□

Həll. $\sqrt{187}<14$, deməli $2,3,5,7,11,13$ ədədləri yoxlanılır: $187 = 11\cdot 17$ — yəni mürəkkəbdir. $\sqrt{191}<14$, eyni sadə ədədlər yoxlanılır: $191$ təkdir, rəqəmlərinin cəmi $11$ ($3$-ə bölünmür), sonu $5$-lə bitmir, $191=7\cdot 27+2$, $191 = 11\cdot 17+4$, $191 = 13\cdot 14+9$. Heç birinə qalıqsız bölünmür. Cavab: $187$ mürəkkəb, $191$ isə sadədir.□

Həll. $91$ tək ədəddir. İki tək ədədin cəmi cüt olacağından, deməli, toplanan sadə ədədlərdən biri mütləq cütdür, yəni $2$-dir. Onda ikinci ədəd $91-2=89$ olur — $89$ özü də sadədir ($\sqrt{89}<10$; $2,3,5,7$ heç biri bölmür). Onların hasili isə: $2\cdot 89 = 178$. Cavab: $178$.□

Həll. $p$ və $p+1$ ardıcıl tam ədədlərdir, deməli onlardan biri mütləq cütdür. Yeganə cüt sadə ədəd $2$-dir. Əgər $p+1 = 2$ olsaydı, $p = 1$ olardı ki, bu da sadə deyil. Deməli, $p = 2$-dir (həqiqətən də, $2$ və $3$ hər ikisi sadədir). Cavab: $p=2$.□

Həll. Tutaq ki, əlimizdə $2s$ sayda tək ədəd var: $(2k_1+1)+(2k_2+1)+\dots+(2k_{2s}+1)$. Vahidlərin cəmi $2s$-dir, yəni cüt ədəddir; yerdə qalan toplananlar isə hər biri $2k_i$ şəklindədir (hamısı cütdür). Beləliklə, ümumi cəm $2(k_1+\dots+k_{2s}+s)$ şəklini alır ki, bu da ikiyə bölündüyü üçün cütdür. Cavab: Həmişə cütdür.□

Həll. Hər addımda lövhədəki bütün ədədlərin cəmi dəyişmir: iki ədədi silib yerinə onların cəmini yazmaq ümumi cəmə heç bir təsir göstərmir — bu xassə invariantdır. Başlanğıc vəziyyətdə isə cəm $1+2+\dots+10 = 55$-dir. Cavab: $55$.□

Həll. Əl sıxma lemmasına əsasən, hər kəsin əl sıxdığı (görüşdüyü) adamların saylarının cəmi cüt olmalıdır. Lakin burada bu cəm $5\cdot 3 = 15$ edir, yəni təkdir. Ziddiyyət yarandığı üçün bu, mümkün deyil. Cavab: Xeyr, mümkün deyil.□

Həll. $3$ tək ədəd olduğundan, $p$ və $p+3$ fərqli cütlüklərə malikdir — yəni onlardan biri mütləq cütdür. Cüt sadə ədəd yalnız $2$-dir. $p+3=2$ olması natural ədədlərdə mümkün deyil, deməli $p=2$ olmalıdır: doğrudan da $2$ və $5$ sadədir. Cavab: $p=2$.□

Həll. Ardıcıl tək ədədləri $2k+1$, $2k+3$ və $2k+5$ şəklində yazaq. Onların cəmi:

$$(2k+1)+(2k+3)+(2k+5) = 6k+9 = 3(2k+3).$$

Bu yekun ədəd $3$-ə qalıqsız bölünür; eyni zamanda $6k$ cüt, $9$ isə tək olduğundan cəm də təkdir (və ya başqa sözlə: üç tək ədədin cəmi həmişə təkdir). Cavab: Cəm $3(2k+3)$ şəklindədir — yəni həm təkdir, həm də $3$-ə tam bölünür.□

Həll. Hər bir domino lövhədə tam olaraq $2$ xana örtür, yəni örtülən xanaların ümumi sayı həmişə cütdür. Lövhədə isə $25$ xana var — bu, tək ədəddir. Deməli, tam örtmək olmaz. Cavab: Xeyr, mümkün deyil.□

Həll. $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$ — cəmi $10$ ədəddir. Qalan mürəkkəb ədədlərin hər birinin $\sqrt{30}<6$ olduğundan, onların $2$, $3$ və ya $5$-ə bölünən ən azı bir böləni var. Cavab: $10$ ədəd.□

Həll. Tutaq ki, $p$ tək sadə ədəddir. Onda $5p$ tək olacaq, deməli, $5p+1$ cütdür və üstəlik $5p+1 \ge 16 > 2$ olduğundan o heç cür sadə ola bilməz. Deməli yeganə hal $p=2$ ola bilər: yoxlasaq $5\cdot 2+1 = 11$ — həqiqətən sadədir. Cavab: $p=2$.□

Həll. Bu üç ədəd $3$-ə bölünmə əlamətinə görə üç fərqli qalıq verir: doğrudan da, $p$, $p+2$ və $p+4$ ədədlərinin $3$-ə bölünməsindən alınan qalıqlar, $p$-nin verdiyi qalıqdan asılı olaraq, müvafiq qaydada $\{0,1,2\}$ çoxluğunu tam əhatə edir (bunu özünüz yoxlayın!). Deməli, bu ədədlərdən biri mütləq $3$-ə tam bölünür. $3$-ə bölünən yeganə sadə ədəd elə $3$-ün özüdür. $p$ natural sadə ədəd olduğundan $p+2=3$ və ya $p+4=3$ halları mümkün deyil. Deməli $p=3$ olmalıdır: yoxlasaq görərik ki, doğrudan da $3$, $5$, $7$ üçlüyünün hər biri sadədir. Cavab: $p=3$.□

Həll. $2$-dən böyük olan heç bir sadə ədəd cüt ola bilməz (yeganə cüt sadə ədəd $2$-dir), deməli, baxılan ədədlərin hər ikisi təkdir. $\text{Tək} + \text{tək} = \text{cüt}$, üstəlik onların cəmi $3+5=8$-dən kiçik ola bilməz. Beləliklə, cəm hər zaman $2$-dən böyük cüt ədəd olur ki, bu da onun ən azı üç böləninin ($1$, $2$ və özü) olması deməkdir. Cavab: Cəm həmişə mürəkkəbdir.□

Həll. $999$ tək ədəddir, deməli həmin sadə ədədlər fərqli cütlüklərə malikdirlər — yəni onlardan biri mütləq cüt olmalı, yəni $2$ olmalıdır. Fərqdə böyük ədəd $2$ ola bilməz, deməli, kiçik ədəd $2$-dir və böyük ədəd isə $2+999 = 1001$ olmalıdır. Lakin $1001 = 7\cdot 11\cdot 13$ olduğundan o, mürəkkəbdir. Cavab: Xeyr, belə iki sadə ədəd mövcud deyil.□

Həll. Tutaq ki, verilən sadə ədədlər $p>q$ şərtini ödəyir. Əgər onların hər ikisi tək olsaydı, $p+q$ cəmi cüt və $2$-dən böyük alınardı — yəni sadə olmazdı. Deməli, mütləq $q=2$ olmalıdır. Bu halda $p-2$, $p$ və $p+2$ ədədlərinin hər üçü sadədir. Məsələ 21-in nəticəsinə əsaslanaraq (orada $p$ əvəzinə $p'=p-2$ götürsək) bu cür şərti ödəyən yeganə sadə üçlüyün $3,5,7$ olduğunu görürük. Buradan $p=5$ alınır. Yoxlama: $5+2=7$ və $5-2=3$ — alınan hər iki nəticə sadədir. Cavab: $5$ və $2$.□

Həll. Tutaq ki, $p$ tək sadə ədəddir (yəni $p\neq 2$). Onda $p^{6}$ tək, $12p$ cüt, $9$ isə təkdir. Deməli:

$$p^{6}+12p+9 \equiv \text{tək}+\text{cüt}+\text{tək} \equiv \text{cüt}$$

Yəni baxılan bu ifadənin cəmi cütdür. Digər tərəfdən $p\ge 3$ şərti nəzərə alındıqda:

$$p^{6}+12p+9 \ge 3^{6}+36+9 = 774 > 2,$$

görürük ki, bu cəm həmişə $2$-dən böyük cüt ədəddir və buna görə də sadə ola bilməz.Beləliklə, yeganə mümkün hal yalnız $p=2$-dir:

$$2^{6}+12\cdot 2+9 = 64+24+9 = 97,$$

və $97$ ədədi doğrudan da sadədir. Cavab: Yalnız bir dənə: $p=2$.□

Həll. Həll üçün $n$-in cütlüyünə görə iki fərqli hala baxaq.1-ci hal: $n$ cütdür. Onda $3n$ cütdür, deməli, $3n-10$ fərqi də cütdür. Yeganə cüt sadə ədəd $2$ olduğuna görə:

$$3n-10=2 \quad \Longrightarrow \quad 3n=12 \quad \Longrightarrow \quad n=4 .$$

Tapdığımız qiyməti yoxlayaq:

$$3\cdot 4-10=2,\qquad 6\cdot 4-13=11,\qquad 5\cdot 4-13=7 .$$

Göründüyü kimi, hər üçü sadədir, deməli $n=4$ şərti ödəyir.2-ci hal: $n$ təkdir. Onda $5n$ tək, $13$ də tək olduğundan onların fərqi olan $5n-13$ cütdür. Beləliklə:

$$5n-13=2 \quad \Longrightarrow \quad 5n=15 \quad \Longrightarrow \quad n=3 .$$

Lakin $n=3$ qiymətini birinci ifadədə yerinə qoysaq:

$$3\cdot 3-10=-1,$$

və mənfi ədəd sadə ədəd ola bilməz. Deməli, tək $n$ üçün heç bir həll yoxdur. Cavab: Yalnız bir qiymətində: $n=4$.□

Həll. Alternativ həll. Verilmiş bu üç ifadənin cəminə baxaq:

$$(3n-10)+(6n-13)+(5n-13)=14n-36=2(7n-18).$$

Görürük ki, bu cəm istənilən tam $n$ qiyməti üçün həmişə cütdür.İndi isə fərz edək ki, hər üç ədəd tək sadə ədəddir. O zaman üç tək ədədin cəmi də mütləq tək olardı:

$$\text{tək}+\text{tək}+\text{tək}=\text{tək},$$

bu isə tapdığımız cəmin həmişə cüt olması faktı ilə ziddiyyət təşkil edir. Deməli, həmin ədədlərdən ən azı biri mütləq cütdür. Yeganə cüt sadə ədəd isə $2$-dir. Beləliklə, verilmiş bu üç ifadədən biri mütləq $2$-yə bərabər olmalıdır.1) $3n-10=2$: Buradan $3n=12$, yəni $n=4$. Yoxlasaq:

$$3\cdot 4-10=2,\qquad 6\cdot 4-13=11,\qquad 5\cdot 4-13=7 .$$

Hər üçü sadədir — yəni $n=4$ uyğundur.2) $6n-13=2$: Buradan $6n=15$, yəni $n=\tfrac{5}{2}$ — tam ədəd deyil, həll yoxdur. (Qeyd: $6n$ həmişə cüt, $13$ isə tək olduğundan, $6n-13$ heç vaxt cüt ola bilməz.)3) $5n-13=2$: Buradan $5n=15$, yəni $n=3$. Lakin

$$3\cdot 3-10=-1$$

alınır və $-1$ sadə ədəd deyil, deməli, bu qiymət uyğun deyil. □

Həll. Əvvəlcə cütlük qaydasına müraciət edək. Verilmiş cəm:

$$x+y+z=68$$

cüt ədəddir. Əgər hər üç sadə ədəd tək olsaydı, onların cəmi də tək olardı. Deməli, bu ədədlərdən ən azı biri cütdür, yəni $2$-yə bərabərdir. Şərtdə verilən $x<y<z$ asılılığından çıxır ki, ən kiçik ədəd:

$$x=2 .$$

Onda yerinə yazsaq:

$$y+z=68-2=66 .$$

İkinci şərtdə də $x=2$ olduğunu nəzərə alaq:

$$xy+yz+zx = 2(y+z)+yz = 1121 .$$

Buradan alınır ki:

$$2\cdot 66 + yz = 1121 \quad \Longrightarrow \quad 132+yz=1121 \quad \Longrightarrow \quad yz=989 .$$

(Maraqlı fakt: Buradan göründüyü kimi, $y$ və $z$ ədədləri Viyet teoreminə görə $t^2-66t+989=0$ tənliyinin kökləridir. Həll etdikdə $y=23$, $z=43$ tapılır — və onların hər ikisi sadədir.) Cavab: $yz = 989$.□

Həll. Tək ədədi riyazi olaraq $n=2k+1$ şəklində ifadə edək:

$$n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 4k(k+1)+1 .$$

Burada $k(k+1)$ ardıcıl iki tam ədədin hasili olduğundan həmişə cütdür: $k(k+1)=2m$. Onda ifadəmiz belə şəkil alar: $n^2 = 4\cdot(2m)+1 = 8m+1$. Cavab: Qalıq həmişə $1$-dir.□

Həll. Tutaq ki, bu mümkündür və $a^2-b^2 = 4k+2$. Onda $(a-b)(a+b) = 4k+2$. Bilirik ki, $a-b$ və $a+b$ eyni cütlüyə malikdir (çünki onların fərqi olan $2b$ cütdür). Beləliklə, iki ehtimal var:

• • Hər ikisi təkdir $\Rightarrow$ bu halda hasil tək olar, amma bizim $4k+2$ ədədimiz cütdür;
• • Hər ikisi cütdür $\Rightarrow$ hər vuruqdan $2$ çıxdığı üçün hasil $4$-ə qalıqsız bölünər, amma $4k+2$ ədədi $4$-ə bölünmür.

Hər iki halda ziddiyyət alındı. Cavab: Belə yazılış mümkün deyil.□

Həll. İsbatın birinci hissəsi: $(n+1)^2-n^2 = (n+1-n)(n+1+n) = 2n+1$ — həqiqətən də tək ədəddir. İsbatın ikinci hissəsi: Verilmiş hər hansı bir tək ədədi $2n+1$ şəklində ifadə edib, eynilə həmin $n$ qiymətini götürmək kifayətdir. Məsələn, $2025 = 2\cdot 1012+1 = 1013^2-1012^2$. Cavab: Fərq $2n+1$-dir; ixtiyari tək ədəd bu qayda ilə ifadə edilə bilər.□

Həll. Hasili uyğun olaraq cütlərə qruplaşdıraq:

$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = \big[n(n+3)\big]\cdot\big[(n+1)(n+2)\big]+1 = (n^2+3n)(n^2+3n+2)+1 .$$

İndi isə $t=n^2+3n$ əvəzləməsi aparaq: $t(t+2)+1 = t^2+2t+1 = (t+1)^2$. Deməli:

$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n^2+3n+1)^2 .$$

(Nümunə üçün, $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4+1 = 25 = 5^2$.) Cavab: Həmişə tam kvadrat, yəni $(n^2+3n+1)^2$ alınır.□

Həll. Taxtanı adi şahmat qaydasında ağ-qara rəngləyək: ümumilikdə $32$ ağ və $32$ qara xana var. İki qarşı künc həmişə eyni rəngdə olur. Deməli kəsdikdən sonra, məsələn, $30$ qara və $32$ ağ xana qalır. Hər bir domino isə qonşu olan iki xananı örtür, yəni eyni anda mütləq bir ağ və bir qara xana tutur. Belə olan halda $31$ domino tam olaraq $31$ ağ və $31$ qara xana örtməlidir — lakin bu tələb əlimizdəki $32$ və $30$ xana balansı ilə qətiyyən uzlaşmır. Cavab: Xeyr, mümkün deyil.□

Həll. Əl sıxma lemmasına görə iştirakçıların salamlaşma saylarının cəmi həmişə cüt olmalıdır (çünki o, ümumi salamlaşmaların sayının iki mislidir). Lakin burada həmin cəm $15\cdot 5 = 75$ edir, yəni təkdir. Ziddiyyət. Cavab: Xeyr, mümkün deyil.□

Həll. $a$ və $b$ ədədlərinin əvəzinə onların fərqinin modulunu, yəni $|a-b|$-ni yazdıqda, lövhədəki ümumi cəm $a+b-|a-b|$ qədər, başqa sözlə $2\min(a,b)$ qədər azalır — ki, bu da hər zaman cüt ədəd deməkdir. Deməli, bütün ədədlərin cəminin cütlüyü addımdan-addıma dəyişməz qalır (invariantdır). Başlanğıc vəziyyətdə cəm $1+2+\dots+50 = \frac{50\cdot 51}{2} = 1275$-dir, yəni təkdir. Buna görə də sonda qalan yeganə ədəd mütləq tək olmalıdır. Lakin $0$ cüt ədəddir. Cavab: Xeyr, $0$ alına bilməz.□

Həll. Sözügedən cəm $2025$ ədəd toplananın cəmindən ibarətdir və hər bir toplanan $\pm 1$ qiymətini alır. Bu cəmin $0$ olması üçün $+1$-lərin sayı mütləq $-1$-lərin sayına bərabər olmalıdır, bu isə toplananların ümumi sayının cüt olmasını tələb edir. Lakin bizim cəmdə $2025$ toplanan var ki, bu da təkdir (başqa sözlə desək, $2025$ ədəd $\pm 1$-in cəmi həmişə tək olmalıdır, lakin $0$ cütdür). Cavab: Xeyr, ola bilməz.□

Həll. Hər dəfə bu əməliyyatı yerinə yetirdikdə, lövhədəki bütün ədədlərin yekun hasili dəyişməz qalır: çünki iki ədədi silib onların hasilini yenidən yazmaq ümumi hasilə heç bir təsir göstərmir. Deməli, bütün ədədlərin yekun hasili invariantdır. Sonda qalan tək ədəd elə başlanğıcdakı bütün ədədlərin hasilinə bərabərdir: əgər $(-1)$-lərin sayı cütdürsə $+1$, təkdirsə $-1$ qalacaq. Cavab: $(-1)$-lərin sayı cüt olarsa $+1$, tək olarsa $-1$ qalar.□

Həll. Əvvəlcə bu prosesin zəruri şərtinə baxaq: istənilən ədədin işarəsini $+$ dən $-$ yə (və ya əksinə) dəyişmək ümumi cəmi $2a$ qədər, yəni hər zaman cüt ədəd qədər dəyişir, deməli cəmin cütlüyü invariantdır. Başlanğıcda hamısını $+$ götürsək $1+2+\dots+2024 = \frac{2024\cdot 2025}{2} = 1012\cdot 2025$ alarıq ki, bu da cütdür. Deməli cütlük xassəsi $0$ (cüt ədəd) almaq üçün hər hansı bir maneə yaratmır.İndi isə bunun mümkünlüyünü isbat edən konstruksiya quraq: ixtiyari ardıcıl dörd ədəd üçün həmişə belə bir qanunauyğunluq keçərlidir:

$$n-(n+1)-(n+2)+(n+3) = 0 .$$

$2024 = 4\cdot 506$ olduğundan, bütün ədədləri bu şəkildə $506$ ardıcıl dördlüyə bölə bilərik. Hər bir dördlükdə $+,-,-,+$ işarələrini ardıcıl tətbiq etsək, dördlüklərin cəmi sıfır olar, uyğun olaraq ümumi cəm də $0$ alınar. Cavab: Bəli mümkündür; məsələn $+1-2-3+4\;+5-6-7+8\;+\dots$ düzülüşü ilə.□

Həll. Əgər $p$ və $q$ ədədlərinin hər ikisi tək olsaydı, o zaman $r^2 = p^2+q^2$ cəmi cüt olardı, deməli, $r$ də cüt olmalı, yəni $r=2$ olmalı idi. Lakin bu halda $r^2 = p^2+q^2 \ge 9+9 = 18 > 4$ alınır ki, bu da riyazi ziddiyyətdir. Deməli $p$ və $q$-dan ən azı biri $2$-dir; tutaq ki, $q=2$. Onda tənlik belə olar:

$$r^2-p^2 = 4 \quad \Longrightarrow \quad (r-p)(r+p) = 4 .$$

Şərtə görə $r>p\ge 2$ olduğundan $r+p \ge 4$ və $r-p\ge 1$ olmalıdır; hasilin tam olaraq $4$ olması üçün yeganə ehtimal $r-p=1$ və $r+p=4$-dür, bu sistemdən isə $p=1{,}5$ alınır — tam ədəd deyil, sadə ədəd olması ümumiyyətlə mümkün deyil. (Əlavə olaraq onu da qeyd edək ki, $r-p$ ilə $r+p$ eyni cütlüyə malik olmalıdır, $1$ və $4$ isə müxtəlif cütlükdədir.) Cavab: Bu bərabərliyi ödəyən belə sadə ədədlər mövcud deyil.□