Ümumi təkrar və sintez

Həll.

1. (a) Son üç rəqəm $=$ mod $1000$. $\mbox{ƏBOB}(3,1000)=1$, deməli Eyler: $\varphi(1000)=400$. Dərs 7.
2. (b) Kvadratların cəmi $=$ konkret ədəd: sərhədləmə ($x,y\le 45$) $+$ mod $4$ ilə cütlük. Dərs 6 və 9.
3. (c) $\mathrm{d}(n)=\prod(a_i+1)=15=3\cdot 5$: göstəricilər $\{2,4\}$ və ya $\{14\}$. Dərs 4.
4. (d) SFFT: $x$ və $y$-in əmsalları var $\Rightarrow$ $(x+2)(y-3)$ formasına salın. Dərs 9.
5. (e) $\mathrm{v}_5(n!)=2026$ tənliyi: təxmin $n\approx 8104$, sonra $5$-in qatlarında dəqiqləşdirmə. Dərs 11.
6. (f) Kublar mod $9$: $\{0,1,8\}$; üç kubun cəmi $\bmod\ 9$ heç vaxt $4$ və ya $5$ ola bilməz. $2026\equiv 1 \pmod 9$ — maneə yoxdur, deməli başqa modul və ya konstruksiya lazımdır. Dərs 10.

□

Həll. Mod $1000$ lazımdır. $1000=8\cdot 125$ və $\mbox{ƏBOB}(8,125)=1$, deməli ÇQT ilə iki hissəyə ayıraq. Mod $8$: $3^{2}=9\equiv 1$, deməli $3^{2026}=(3^{2})^{1013}\equiv 1 \pmod 8$. Mod $125$: $\varphi(125)=100$ və $\mbox{ƏBOB}(3,125)=1$, deməli $3^{100}\equiv 1$. $2026=100\cdot 20+26$, buradan $3^{2026}\equiv 3^{26}$. Hesablayaq: $3^{5}=243\equiv -7 \pmod{125}$. Onda $3^{25}=(3^{5})^{5}\equiv(-7)^{5}=-16807$. $16807=134\cdot 125+57$, deməli $-16807\equiv -57\equiv 68$. Nəhayət $3^{26}\equiv 68\cdot 3=204\equiv 79 \pmod{125}$. Birləşdirmə: $x\equiv 1 \pmod 8$, $x\equiv 79\pmod{125}$. $x=79+125t$ və $79+125t\equiv 1 \pmod 8$: $79\equiv 7$, $125\equiv 5$, deməli $7+5t\equiv 1$, $5t\equiv 2 \pmod 8$. $5^{-1}\equiv 5 \pmod 8$ ($5\cdot5=25\equiv1$), buradan $t\equiv 10\equiv 2$. $t=2$: $x=79+250=329$. Cavab: $329$□

Həll. Addım 1 — sərhəd. $x^{2}\le 2026$, deməli $|x|\le 45$. Addım 2 — modul. $2026\equiv 2 \pmod 4$. Kvadratlar mod $4$-də $0$ və ya $1$-dir, cəmin $2$ olması üçün hər iki kvadrat $1$ olmalıdır, yəni $x$ və $y$ hər ikisi təkdir. Bu, axtarışı yarıya endirir. Addım 3 — daha incə modul. Mod $8$: tək kvadratlar $\equiv 1$, deməli $x^{2}+y^{2}\equiv 2 \pmod 8$. $2026=8\cdot 253+2$ — uyğundur, maneə yoxdur. Addım 4 — axtarış. $x$ tək, $1\le x\le 45$: $2026-x^{2}$-nin tam kvadrat olduğu halları yoxlayaq. $x=1$: $2025=45^{2}$ (bəli). $x=3$: $2017$ — yox. $x=5$: $2001$ — yox. $\dots$ $x=45$: $1$ (bəli). Ümumiyyətlə $2026=2\cdot 1013$ və $1013\equiv 1 \pmod 4$ sadə ədəddir; iki kvadratın cəmi teoreminə görə belə ayrılış (işarə və sıra nəzərə alınmadan) yeganədir. Cavab: $(x,y)=(\pm1,\pm45)$ və $(\pm45,\pm1)$ — cəmi $8$ sıralı həll□

Həll. $n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$ üçün $\mathrm{d}(n)=\prod(a_i+1)=15$. $15$-in ayrılışları: $15$, $3\cdot 5$, $5\cdot 3$.

• • $\{a_i+1\}=\{15\}$: $n=p^{14}$, ən kiçiyi $2^{14}=16384$.
• • $\{a_i+1\}=\{3,5\}$: $n=p^{2}q^{4}$. Kiçik saxlamaq üçün böyük göstəricini kiçik əsasa verin: $2^{4}\cdot 3^{2}=16\cdot 9=144$. (Əksi: $2^{2}\cdot3^{4}=324$.)

Ən kiçiyi $144$-dür. Cavab: $n=144$□

Həll. Qruplaşdıraq: $x(y-3)+2y=17$. $2y=2(y-3)+6$ olduğundan

$$x(y-3)+2(y-3)=17-6=11\ \Longrightarrow\ (x+2)(y-3)=11.$$

$11$ sadədir, tam vuruq cütləri: $(1,11),(11,1),(-1,-11),(-11,-1)$.

$$\begin{array}{c|cccc} x+2 & 1 & 11 & -1 & -11\\ y-3 & 11 & 1 & -11 & -1\\\hline (x,y) & (-1,14) & (9,4) & (-3,-8) & (-13,2) \end{array}$$

Cavab: $(-1,14),\ (9,4),\ (-3,-8),\ (-13,2)$□

Həll. Sıfırların sayı $\mathrm{v}_5(n!)$-dir və təxminən $n/4$-ə bərabərdir, deməli $n\approx 8104$ ətrafına baxaq.

$$\mathrm{v}_5(8115)=1623+324+64+12+2=2025,\qquad \mathrm{v}_5(8120)=1624+324+64+12+2=2026.$$

Növbəti sıçrayış $n=8125=5^{4}\cdot 13$-də olur: $\mathrm{v}_5(8125)=1625+325+65+13+2=2030$, yəni funksiya birdən $4$ artır (çünki $\mathrm{v}_5(8125)=4$). Cavab: Bəli: $n\in\{8120,\dots,8124\}$□

Həll. İsbat. $n>1$ olsun. Əvvəlcə $n$ təkdir: $n$ cüt olsaydı, $2^{n}+1$ tək olduğu üçün cüt ədədə bölünə bilməzdi. $p$ ilə $n$-in ən kiçik sadə bölənini işarə edək ($p$ tək). Şərtdən $2^{n}\equiv -1 \pmod p$, deməli $2^{2n}\equiv 1 \pmod p$. $d=\mathrm{ord}_p(2)$ olsun. Onda

$$d\mid 2n,\qquad d\nmid n$$

(ikincisi ona görə ki $2^{n}\equiv -1\ne 1$; burada $p>2$ olduğundan $-1\not\equiv 1$). $d\mid 2n$ və $d\nmid n$ olmasından $\mathrm{v}_2(d)=\mathrm{v}_2(2n)=1$ çıxır ($n$ tək olduğundan $\mathrm{v}_2(2n)=1$). Deməli $d=2e$, burada $e$ tək və $e\mid n$. Ferma kiçik teoreminə görə $d\mid p-1$, yəni $2e\le p-1$, buradan $e<p$. Lakin $e\mid n$ və $n$-in $p$-dən kiçik yeganə böləni $1$-dir (çünki $p$ ən kiçik sadə bölənidir). Deməli $e=1$, $d=2$, yəni $p\mid 2^{2}-1=3$, buradan $p=3$. $n\le 100$ üçün siyahı. Yuxarıdakı mühakimə yalnız ən kiçik sadə bölənin $3$ olduğunu verir, ona görə qalan halları yoxlamaq lazımdır. $\mathrm{v}_3\big(2^{3^{k}}+1\big)=k+1$ olduğundan bütün $3^{k}$-lar şərti ödəyir: $1,3,9,27,81$. $100$-ə qədər başqa namizədləri ($3m$, $3\nmid m$ formalı) birbaşa yoxlamaqla onların şərti ödəmədiyi görünür. Diqqət: sərhəd $100$-dən böyük olsaydı, siyahı yalnız $3$-ün qüvvətlərindən ibarət qalmazdı — məsələn $n=171=3^{2}\cdot 19$ də $n\mid 2^{n}+1$ şərtini ödəyir. Cavab: $n\in\{1,3,9,27,81\}$□

Həll. $R_k=\underbrace{1\ldots1}_{k}=\dfrac{10^{k}-1}{9}$. Mod $7$-də $10\equiv 3$ və $\mathrm{ord}_7(3)=6$ ($3,2,6,4,5,1$), deməli $R_k \bmod 7$ ardıcıllığı $k$-ya görə $6$ dövrlüdür:

$$R_1=1,\ R_2=4,\ R_3=6,\ R_4=5,\ R_5=2,\ R_6=0 \pmod 7.$$

$2026=6\cdot 337+4$, deməli $R_{2026}\equiv R_4\equiv 5 \pmod 7$. Cavab: $5$□

Həll. $101$ sadədir, deməli Vilson teoreminə görə

$$100!=(101-1)!\equiv -1\equiv 100 \pmod{101}.$$

$2027$ də sadədir ($\sqrt{2027}<46$ və $2027$ ədədi $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43$-ün heç birinə bölünmür), deməli eyni səbəbdən

$$2026!\equiv -1\equiv 2026 \pmod{2027}.$$

Cavab: $100$ və $2026$□

Həll. $p^{2}-1=2q^{2}$, yəni $(p-1)(p+1)=2q^{2}$. Cütlük. $p=2$ olsaydı $4-2q^{2}=1$ — tək ədəd cüt ədədə bərabər ola bilməz. Deməli $p$ təkdir və $p-1$, $p+1$ ardıcıl cüt ədədlərdir, yəni hasil $8$-ə bölünür: $8\mid 2q^{2}$, buradan $4\mid q^{2}$, yəni $q$ cütdür. $q$ sadə olduğundan $q=2$. Onda $p^{2}=1+2\cdot 4=9$, $p=3$ — sadədir. Cavab: $(p,q)=(3,2)$□

Həll. $\mathrm{d}\big(2^{a}3^{b}\big)=(a+1)(b+1)=2026=2\cdot 1013$. $1013$ sadə olduğundan $2026$-nın ayrılışları:

$$2026=1\cdot 2026=2\cdot 1013=1013\cdot 2=2026\cdot 1.$$

Uyğun $(a,b)$ cütləri: $(0,2025)$, $(1,1012)$, $(1012,1)$, $(2025,0)$. Ədədi kiçik saxlamaq üçün böyük göstərici kiçik əsasda olmalıdır:

$$2^{2025}\quad\text{və}\quad 2^{1012}\cdot 3.$$

Müqayisə: $2^{2025}$ ilə $2^{1012}\cdot 3<2^{1014}$ — ikincisi qat-qat kiçikdir. Digər iki variant ($3^{2025}$, $2\cdot 3^{1012}$) daha böyükdür. Cavab: $2^{1012}\cdot 3$□

Həll. $2026=2\cdot 845+336$; $845=2\cdot 336+173$; $336=1\cdot 173+163$; $173=1\cdot 163+10$; $163=16\cdot 10+3$; $10=3\cdot 3+1$; $3=3\cdot 1$. Cavab: $1$□

Həll. $2026=2\cdot 1013$ və $1013$ sadədir ($\sqrt{1013}<32$; $1013$ ədədi $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31$-in heç birinə bölünmür). Deməli

$$\mathrm{d}(2026)=2\cdot 2=4,\qquad \sigma(2026)=(1+2)(1+1013)=3\cdot 1014=3042.$$

Cavab: $4$ bölən, cəmi $3042$□

Həll. $\varphi(2026)=\varphi(2)\varphi(1013)=1\cdot 1012=1012$. Cavab: $1012$□

Həll. $\mathrm{ord}_7(2)=3$ ($2,4,1$). $2026=3\cdot 675+1$, deməli $2^{2026}\equiv 2^{1}=2$. Cavab: $2$□

Həll. $\mathrm{ord}_7(3)=6$. $2026=6\cdot 337+4$, deməli $3^{2026}\equiv 3^{4}=81\equiv 4$. Cavab: $4$□

Həll. Son rəqəm əsasın son rəqəmindən asılıdır: $6^{k}$ həmişə $6$ ilə bitir. Cavab: $6$□

Həll. $2026\equiv 2+0+2+6=10\equiv 1 \pmod 9$, deməli $2026^{2026}\equiv 1^{2026}=1$. Cavab: $1$□

Həll. Birinci və üçüncüdən: $x\equiv 2 \pmod{21}$. $x=2+21t$ və $2+21t\equiv 3 \pmod 5$: $2+t\equiv 3$, $t\equiv 1$. $t=1$: $x=23$. Cavab: $x=23$□

Həll. $\mbox{ƏBOB}(15,24)=3$ və $3\mid 9$, deməli $3$ həll var. Hər tərəfi $3$-ə bölək: $5x\equiv 3 \pmod 8$. $5^{-1}\equiv 5 \pmod 8$, buradan $x\equiv 15\equiv 7 \pmod 8$. Cavab: $x\equiv 7,15,23 \pmod{24}$□

Həll. $\mbox{ƏBOB}(7,11)=1$. Xüsusi həll: $7\cdot(-3)+11\cdot 2=-21+22=1$. Ümumi həll:

$$x=-3+11t,\qquad y=2-7t,\qquad t\in\mathbb{Z}.$$

Cavab: $(x,y)=(-3+11t,\ 2-7t)$□

Həll. $14$-ün tam bölənləri: $\pm1,\pm2,\pm7,\pm14$ — cəmi $8$ ədəd, hər biri bir sıralı cüt verir. Cavab: $8$□

Həll. $x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)$ və $x-y$ ilə $x+y$ eyni cütlükdədir. Deməli hasil ya təkdir, ya da $4$-ə bölünür. $2026=2\cdot 1013$ isə cütdür, lakin $4$-ə bölünmür. □

Həll. Standart çevirmə: $(x-12)(y-12)=144$. Müsbət həllər $144$-ün müsbət bölənlərinə uyğundur: $144=2^{4}\cdot 3^{2}$, $\mathrm{d}(144)=5\cdot 3=15$. Cavab: $15$□

Həll. $\mathrm{v}_5(2026!)=405+81+16+3=505$. Cavab: $505$□

Həll. $33+11+3+1=48$. Cavab: $3^{48}$□

Həll. Mod $5$-də $n\equiv 0,1,2,3,4$ üçün ifadə uyğun olaraq $1,3,2,3,1$ qalıqlarını verir. $0$ heç vaxt alınmır. □

Həll. $p,p+2,p+4$ mod $3$-də bir-birindən fərqli qalıqlar verir (çünki $0,2,4\equiv 0,2,1$), deməli onlardan biri mütləq $3$-ə bölünür. Sadə qalması üçün o, $3$-ün özü olmalıdır. $p=3$: $3,5,7$ — hamısı sadədir. Cavab: $p=3$□

Həll. $ab=\mbox{ƏBOB}(a,b)\cdot\mbox{ƏKOB}(a,b)=6\cdot 210=1260$. $a=6a'$, $b=6b'$, $\mbox{ƏBOB}(a',b')=1$ və $a'b'=210/6=35$. $35=5\cdot 7$, qarşılıqlı sadə sıralı cütlər: $(1,35),(35,1),(5,7),(7,5)$ — $4$ cüt. Cavab: $ab=1260$; $4$ sıralı cüt□

Həll. Evklid alqoritminin əsas fəndi: $n^{2}+n+1$-i $n+2$-yə görə sadələşdirək. $n\equiv -2 \pmod{n+2}$ olduğundan

$$n^{2}+n+1\equiv (-2)^{2}+(-2)+1=3 \pmod{n+2}.$$

Deməli $\mbox{ƏBOB}(n^{2}+n+1,n+2)=\mbox{ƏBOB}(3,n+2)$, bu isə $1$ və ya $3$-dür. $3$ qiyməti $3\mid n+2$, yəni $n\equiv 1 \pmod 3$ olduqda alınır (məsələn $n=1$: $\mbox{ƏBOB}(3,3)=3$). Cavab: $1$ və $3$□